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AMC 8 · 2003 · #16

학년 4 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type
permutations-basiccombinations-basicsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticsystematic-enumeration
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제

Ali, Bonnie, Carlo, and Dianna are going to drive together to a nearby theme park. The car they are using has 44 seats: 11 Driver seat, 11 front passenger seat, and 22 back passenger seats. Bonnie and Carlo are the only ones who know how to drive the car. How many possible seating arrangements are there?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
4
(C)
6
(D)
12
(E)
24
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 앨리, 보니, 카를로, 디애나가 차의 네 자리, 즉 운전석 $1$ 개, 조수석 $1$ 개, 뒷좌석 $2$ 개에 나누어 앉습니다. 운전석은 보니와 카를로만 앉을 수 있어요. 가능한 자리 배치의 수를 구하세요.

주어진 것: 네 사람: 앨리, 보니, 카를로, 디애나; 네 자리: 운전석, 조수석, 뒷좌석 왼쪽, 뒷좌석 오른쪽; 운전석에는 보니 또는 카를로만 앉을 수 있다; 나머지 세 자리에는 누구나 앉을 수 있다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $12$, (E) $24$

구하는 것: 조건을 만족하는 자리 배치의 총 개수

이해

문제 재정리: 앨리, 보니, 카를로, 디애나가 차의 네 자리, 즉 운전석 $1$ 개, 조수석 $1$ 개, 뒷좌석 $2$ 개에 나누어 앉습니다. 운전석은 보니와 카를로만 앉을 수 있어요. 가능한 자리 배치의 수를 구하세요.

주어진 것: 네 사람: 앨리, 보니, 카를로, 디애나; 네 자리: 운전석, 조수석, 뒷좌석 왼쪽, 뒷좌석 오른쪽; 운전석에는 보니 또는 카를로만 앉을 수 있다; 나머지 세 자리에는 누구나 앉을 수 있다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $12$, (E) $24$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 똑똑하게 세기

운전석 한 자리에만 특별한 제한이 있고 나머지 세 자리는 제한이 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 방식대로, 제한이 있는 자리를 먼저 처리하고 나머지를 별개의 더 쉬운 문제로 다루면 됩니다. 운전자가 정해지고 나면 남은 자리는 "세 사람을 세 개의 구별되는 자리에 배치" 하는 문제가 되고, 도구 #13(똑똑하게 세기)의 곱의 법칙으로 마무리됩니다. 각 단계의 선택지 수를 곱하면 됩니다. 가장 제한이 강한 자리를 먼저 채우는 것이 중복 셈을 막는 정석 전략입니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1
  • 작은 문제 1 — 운전자 정하기.
  • 운전석은 보니 또는 카를로만 가능하므로 정확히 $2$ 가지 선택지입니다.
$$\#\text{운전자} = 2 \;\; (\text{보니 또는 카를로})$$

💡 선택지가 가장 적은 자리부터 시작하는 것이 정석 — 가장 어려운 부분을 먼저 잠가 두는 셈입니다.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 2
  • 작은 문제 2 — 조수석 정하기.
  • 운전자가 정해지면 남은 사람은 $3$ 명이고, 누구나 조수석에 앉을 수 있으므로 $3$ 가지 선택지입니다.
$$\#\text{조수석} = 3$$

💡 제한이 없으면 "남은 사람 수" 가 그대로 선택지 수입니다.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 3
  • 작은 문제 3 — 뒷좌석 왼쪽 정하기.
  • 운전자와 조수석이 정해지면 남은 사람은 $2$ 명이고, 둘 중 누가 앉아도 되므로 $2$ 가지 선택지입니다.
$$\#\text{뒷좌석 왼쪽} = 2$$

💡 한 자리를 채울 때마다 남은 사람 수가 정확히 한 명씩 줄어요.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 4
  • 작은 문제 4 — 뒷좌석 오른쪽 정하기.
  • 마지막 한 명만 남으므로 자동으로 그 자리에 앉습니다.
  • $1$ 가지.
$$\#\text{뒷좌석 오른쪽} = 1$$

💡 나머지 세 자리가 채워지면 마지막 자리는 강제로 정해집니다.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 5

네 단계의 선택은 서로 독립이므로 (각 단계가 별개의 결정) 선택지 수를 곱합니다.

$$2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 곱의 법칙: 작업이 독립적인 여러 단계로 나뉘면, 전체 가짓수 $=$ 각 단계 선택지 수의 곱.

[1] #7 4.OA.A.3 작은 문제 1 — 운전자 정하기. 운전석은 보니 또는 카를로만 가능하므로 정확히 $2$ 가지 선택지입니다.
[2] #13 4.OA.A.3 작은 문제 2 — 조수석 정하기. 운전자가 정해지면 남은 사람은 $3$ 명이고, 누구나 조수석에 앉을 수 있으므로 $3$ 가지 선택지입니다.
[3] #13 4.OA.A.3 작은 문제 3 — 뒷좌석 왼쪽 정하기. 운전자와 조수석이 정해지면 남은 사람은 $2$ 명이고, 둘 중 누가 앉아도 되므로 $2$ 가지 선택지입니
[4] #13 4.OA.A.3 작은 문제 4 — 뒷좌석 오른쪽 정하기. 마지막 한 명만 남으므로 자동으로 그 자리에 앉습니다. $1$ 가지.
[5] #13 4.OA.A.3 네 단계의 선택은 서로 독립이므로 (각 단계가 별개의 결정) 선택지 수를 곱합니다.

검토

합리성 확인: 운전 제한이 없다면 네 사람이 네 자리에 앉는 경우는 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 가지로 선택지 (E) 가 됩니다. 운전석의 선택지가 $4$ 에서 $2$ 로 줄었으니 전체 가짓수도 정확히 반인 $24 \div 2 = 12$ 가 됩니다. 답 $12$ 는 (D) 와 일치합니다. 또한 $12$ 는 제한 없는 경우 ($24$) 와 더 작은 선택지들 ($2, 4, 6$) 사이에 있어서 "제한이 한 개" 라는 상황과도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): 먼저 보니가 운전한다고 두면, 남은 세 사람 (앨리, 카를로, 디애나) 이 나머지 세 자리에 앉는 경우는 $3! = 6$ 가지. 카를로가 운전하는 경우도 마찬가지로 $6$ 가지. 합치면 $6 + 6 = 12$, 역시 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (자리 배치를 네 단계의 선택 ($2, 3, 2, 1$) 으로 나누고 곱의 법칙으로 $2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 가장 까다로운 자리를 먼저 채우고 남은 선택지를 곱하면 끝 — 4학년 곱의 법칙만으로 이 AMC 8 문제는 $2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$ 로 정리됩니다.

⭐ 가장 까다로운 자리를 먼저 채우고 남은 선택지를 곱하면 끝 — 4학년 곱의 법칙만으로 이 AMC 8 문제는 $2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$ 로 정리됩니다.

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