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AMC 8 · 2003 · #16

쉬운 모드 학년 4
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문제

Ali, Bonnie, Carlo, Dianna 네 명이 한 차를 타고 놀이공원에 갑니다. 차에는 자리가 44개 있어요. 운전석 11개, 조수석 11개, 뒷자리 22개입니다.

한 가지 규칙이 있습니다. Bonnie와 Carlo만 운전할 줄 알아요. 그래서 운전석에는 둘 중 한 명이 앉아야 합니다.

나머지 세 자리는 남은 사람들이 자유롭게 앉을 수 있어요.

네 명이 차에 앉는 방법은 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
4
(C)
6
(D)
12
(E)
24
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 앨리, 보니, 카를로, 디애나가 차의 네 자리, 즉 운전석 $1$ 개, 조수석 $1$ 개, 뒷좌석 $2$ 개에 나누어 앉습니다. 운전석은 보니와 카를로만 앉을 수 있어요. 가능한 자리 배치의 수를 구하세요.

주어진 것: 네 사람: 앨리, 보니, 카를로, 디애나; 네 자리: 운전석, 조수석, 뒷좌석 왼쪽, 뒷좌석 오른쪽; 운전석에는 보니 또는 카를로만 앉을 수 있다; 나머지 세 자리에는 누구나 앉을 수 있다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $12$, (E) $24$

구하는 것: 조건을 만족하는 자리 배치의 총 개수

이해

문제 재정리: 앨리, 보니, 카를로, 디애나가 차의 네 자리, 즉 운전석 $1$ 개, 조수석 $1$ 개, 뒷좌석 $2$ 개에 나누어 앉습니다. 운전석은 보니와 카를로만 앉을 수 있어요. 가능한 자리 배치의 수를 구하세요.

주어진 것: 네 사람: 앨리, 보니, 카를로, 디애나; 네 자리: 운전석, 조수석, 뒷좌석 왼쪽, 뒷좌석 오른쪽; 운전석에는 보니 또는 카를로만 앉을 수 있다; 나머지 세 자리에는 누구나 앉을 수 있다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $12$, (E) $24$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 똑똑하게 세기

운전석 한 자리에만 특별한 제한이 있고 나머지 세 자리는 제한이 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 방식대로, 제한이 있는 자리를 먼저 처리하고 나머지를 별개의 더 쉬운 문제로 다루면 됩니다. 운전자가 정해지고 나면 남은 자리는 "세 사람을 세 개의 구별되는 자리에 배치" 하는 문제가 되고, 도구 #13(똑똑하게 세기)의 곱의 법칙으로 마무리됩니다. 각 단계의 선택지 수를 곱하면 됩니다. 가장 제한이 강한 자리를 먼저 채우는 것이 중복 셈을 막는 정석 전략입니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1
  • 작은 문제 1 — 운전자 정하기.
  • 운전석은 보니 또는 카를로만 가능하므로 정확히 $2$ 가지 선택지입니다.
$$\#\text{운전자} = 2 \;\; (\text{보니 또는 카를로})$$

💡 선택지가 가장 적은 자리부터 시작하는 것이 정석 — 가장 어려운 부분을 먼저 잠가 두는 셈입니다.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 2
  • 작은 문제 2 — 조수석 정하기.
  • 운전자가 정해지면 남은 사람은 $3$ 명이고, 누구나 조수석에 앉을 수 있으므로 $3$ 가지 선택지입니다.
$$\#\text{조수석} = 3$$

💡 제한이 없으면 "남은 사람 수" 가 그대로 선택지 수입니다.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 3
  • 작은 문제 3 — 뒷좌석 왼쪽 정하기.
  • 운전자와 조수석이 정해지면 남은 사람은 $2$ 명이고, 둘 중 누가 앉아도 되므로 $2$ 가지 선택지입니다.
$$\#\text{뒷좌석 왼쪽} = 2$$

💡 한 자리를 채울 때마다 남은 사람 수가 정확히 한 명씩 줄어요.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 4
  • 작은 문제 4 — 뒷좌석 오른쪽 정하기.
  • 마지막 한 명만 남으므로 자동으로 그 자리에 앉습니다.
  • $1$ 가지.
$$\#\text{뒷좌석 오른쪽} = 1$$

💡 나머지 세 자리가 채워지면 마지막 자리는 강제로 정해집니다.

#13 똑똑하게 세기 4.OA.A.3 단계 5

네 단계의 선택은 서로 독립이므로 (각 단계가 별개의 결정) 선택지 수를 곱합니다.

$$2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 곱의 법칙: 작업이 독립적인 여러 단계로 나뉘면, 전체 가짓수 $=$ 각 단계 선택지 수의 곱.

[1] #7 4.OA.A.3 작은 문제 1 — 운전자 정하기. 운전석은 보니 또는 카를로만 가능하므로 정확히 $2$ 가지 선택지입니다.
[2] #13 4.OA.A.3 작은 문제 2 — 조수석 정하기. 운전자가 정해지면 남은 사람은 $3$ 명이고, 누구나 조수석에 앉을 수 있으므로 $3$ 가지 선택지입니다.
[3] #13 4.OA.A.3 작은 문제 3 — 뒷좌석 왼쪽 정하기. 운전자와 조수석이 정해지면 남은 사람은 $2$ 명이고, 둘 중 누가 앉아도 되므로 $2$ 가지 선택지입니
[4] #13 4.OA.A.3 작은 문제 4 — 뒷좌석 오른쪽 정하기. 마지막 한 명만 남으므로 자동으로 그 자리에 앉습니다. $1$ 가지.
[5] #13 4.OA.A.3 네 단계의 선택은 서로 독립이므로 (각 단계가 별개의 결정) 선택지 수를 곱합니다.

검토

합리성 확인: 운전 제한이 없다면 네 사람이 네 자리에 앉는 경우는 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 가지로 선택지 (E) 가 됩니다. 운전석의 선택지가 $4$ 에서 $2$ 로 줄었으니 전체 가짓수도 정확히 반인 $24 \div 2 = 12$ 가 됩니다. 답 $12$ 는 (D) 와 일치합니다. 또한 $12$ 는 제한 없는 경우 ($24$) 와 더 작은 선택지들 ($2, 4, 6$) 사이에 있어서 "제한이 한 개" 라는 상황과도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): 먼저 보니가 운전한다고 두면, 남은 세 사람 (앨리, 카를로, 디애나) 이 나머지 세 자리에 앉는 경우는 $3! = 6$ 가지. 카를로가 운전하는 경우도 마찬가지로 $6$ 가지. 합치면 $6 + 6 = 12$, 역시 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (자리 배치를 네 단계의 선택 ($2, 3, 2, 1$) 으로 나누고 곱의 법칙으로 $2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 가장 까다로운 자리를 먼저 채우고 남은 선택지를 곱하면 끝 — 4학년 곱의 법칙만으로 이 AMC 8 문제는 $2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$ 로 정리됩니다.

⭐ 가장 까다로운 자리를 먼저 채우고 남은 선택지를 곱하면 끝 — 4학년 곱의 법칙만으로 이 AMC 8 문제는 $2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$ 로 정리됩니다.

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