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AMC 8 · 2000 · #22

학년 7 geometry-3d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
surface-areaspatial-visualizationpercentagearea-rectangles area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: surface-areapercentage
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

A cube has edge length 22. Suppose that we glue a cube of edge length 11 on top of the big cube so that one of its faces rests entirely on the top face of the larger cube. The percent increase in the surface area (sides, top, and bottom) from the original cube to the new solid formed is closest to

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
15
(C)
17
(D)
21
(E)
25
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모서리 길이가 $2$ 인 정육면체의 윗면에, 모서리 길이가 $1$ 인 작은 정육면체의 한 면이 통째로 닿도록 작은 정육면체를 올려 붙입니다. 새로운 입체의 총 겉넓이(위·아래·옆면 전부)와 원래 정육면체의 겉넓이를 비교했을 때, 겉넓이의 증가율(%)에 가장 가까운 값을 고르세요.

주어진 것: 큰 정육면체의 모서리 길이 $= 2$, 한 면의 넓이는 $2 \times 2 = 4$; 작은 정육면체의 모서리 길이 $= 1$, 한 면의 넓이는 $1 \times 1 = 1$; 작은 정육면체의 $1 \times 1$ 면 하나가 큰 정육면체의 윗면에 통째로 닿도록 올려져 있다; 겉넓이는 합쳐진 입체의 위 + 아래 + 모든 옆면을 모두 포함한다; 선택지: (A) $10$, (B) $15$, (C) $17$, (D) $21$, (E) $25$

구하는 것: 원래 정육면체에서 새로운 입체로 바뀔 때의 겉넓이 증가율을, 보기 중 가장 가까운 정수 백분율로 나타낸 값

이해

문제 재정리: 모서리 길이가 $2$ 인 정육면체의 윗면에, 모서리 길이가 $1$ 인 작은 정육면체의 한 면이 통째로 닿도록 작은 정육면체를 올려 붙입니다. 새로운 입체의 총 겉넓이(위·아래·옆면 전부)와 원래 정육면체의 겉넓이를 비교했을 때, 겉넓이의 증가율(%)에 가장 가까운 값을 고르세요.

주어진 것: 큰 정육면체의 모서리 길이 $= 2$, 한 면의 넓이는 $2 \times 2 = 4$; 작은 정육면체의 모서리 길이 $= 1$, 한 면의 넓이는 $1 \times 1 = 1$; 작은 정육면체의 $1 \times 1$ 면 하나가 큰 정육면체의 윗면에 통째로 닿도록 올려져 있다; 겉넓이는 합쳐진 입체의 위 + 아래 + 모든 옆면을 모두 포함한다; 선택지: (A) $10$, (B) $15$, (C) $17$, (D) $21$, (E) $25$

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기

울퉁불퉁해진 새 입체의 모든 면을 다시 세는 건 느리고 실수도 많아요. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 뒤집습니다 — 전체를 다시 세지 말고, 맞붙은 자리에서 "무엇이 새로 보이고 무엇이 가려졌는지"만 따집니다. 작은 정육면체를 올려 붙이면 큰 정육면체 윗면의 $1 \times 1$ 부분이 겉에서 사라지고(작은 정육면체의 밑면도 같은 자리에서 가려지므로 겉면에서 "제거되는 면"은 그 한 장), 대신 작은 정육면체의 윗면과 옆 네 면, 총 $5$ 개의 $1 \times 1$ 면이 새로 겉면이 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 맞붙은 자리와 새로 드러나는 면들이 한눈에 들어옵니다. 순 변화는 $+5 - 1 = +4$, 이후 비율 계산 한 번이면 끝납니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.4 단계 1
  • 원래 큰 정육면체의 겉넓이부터 구합니다.
  • 정육면체에는 합동인 면이 $6$ 개 있고, 큰 정육면체 한 면의 넓이는 $2^2 = 4$ 이므로 원래 겉넓이는 $6 \times 4 = 24$ 입니다.
$$\text{원래} = 6 \times 2^2 = 24 \text{ 제곱 단위}$$

💡 정육면체 전개도는 합동인 정사각형 $6$ 장 — 6학년 "전개도로 겉넓이 구하기" 그대로입니다. 한 변이 $2$ 이니 한 면 넓이는 $4$.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.4 단계 2
  • 관점을 바꿔 변화량만 계산합니다.
  • 작은 정육면체를 큰 정육면체 윗면에 내려놓는 장면을 떠올려 보세요.
  • 맞붙은 자리에서 두 가지 일이 동시에 일어납니다.
  • 큰 정육면체 윗면의 $1 \times 1$ 부분이 더 이상 겉이 아니게 되고, 작은 정육면체의 밑면 역시 더 이상 겉이 아니게 됩니다(같은 한 장의 패치를 양쪽에서 가리는 것이므로, 겉면에서 "빠지는 면"은 한 장만 셉니다).
  • 동시에 작은 정육면체의 윗면 한 장과 옆면 네 장, 총 $5$ 장의 넓이 $1$ 인 면이 새로 겉면이 됩니다.
$\text{겉면에서 빠지는 부분} = 1 \text{ (큰 정육면체 윗면의 } 1 \times 1 \text{ 패치)}$ $\text{겉면에 새로 추가되는 부분} = 5 \times 1 = 5 \text{ (작은 정육면체의 위면 + 옆면 4장)}$

💡 맞붙은 자리 외에는 변한 게 없습니다. 큰 정육면체의 다른 면은 그대로니까 다시 세지 않아도 돼요.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.4 단계 3

추가된 면적과 빠진 면적을 합쳐 순 변화량을 구합니다.

$$\Delta \text{겉넓이} = +5 - 1 = +4 \text{ 제곱 단위}$$

💡 작은 면 $5$ 장이 새로 보이고 $1$ 장이 가려지니 순 증가 $+4$. 새 총 겉넓이는 $24 + 4 = 28$ 이 되지만, 증가율만 구하면 되니 새 총합 자체는 필수가 아닙니다.

#16 관점 바꾸기 7.RP.A.3 단계 4
  • 증가율을 계산합니다.
  • 증가율은 변화량을 원래 값으로 나눈 뒤 백분율로 나타낸 값입니다.
$$\dfrac{\Delta}{\text{원래}} \times 100\% = \dfrac{4}{24} \times 100\% = \dfrac{1}{6} \times 100\% \approx 16.67\%$$

💡 7학년 비율을 활용한 백분율 변화: 증가량을 원래 값으로 나눕니다. $\tfrac{4}{24}$ 는 $\tfrac{1}{6}$ 로 약분되고, 소수로는 약 $0.1\overline{6}$.

#16 관점 바꾸기 7.RP.A.3 단계 5
  • 가장 가까운 선택지로 반올림합니다.
  • $16.67\%$ 는 $15\%$ 와 $17\%$ 사이에 있지만, $17$ 까지의 거리($0.33$)가 $15$ 까지의 거리($1.67$)보다 훨씬 가깝습니다.
$$|16.67 - 17| = 0.33 < |16.67 - 15| = 1.67 \;\Rightarrow\; 17\% \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "가장 가까운" 값을 묻는 문제는 양쪽 가까운 선택지까지의 거리를 비교해서 더 작은 쪽을 고르면 됩니다.

[1] #1 6.G.A.4 원래 큰 정육면체의 겉넓이부터 구합니다. 정육면체에는 합동인 면이 $6$ 개 있고, 큰 정육면체 한 면의 넓이는 $2^2 = 4$ 이므로 원래
[2] #16 6.G.A.4 관점을 바꿔 변화량만 계산합니다. 작은 정육면체를 큰 정육면체 윗면에 내려놓는 장면을 떠올려 보세요. 맞붙은 자리에서 두 가지 일이 동시에 일어
[3] #16 6.G.A.4 추가된 면적과 빠진 면적을 합쳐 순 변화량을 구합니다.
[4] #16 7.RP.A.3 증가율을 계산합니다. 증가율은 변화량을 원래 값으로 나눈 뒤 백분율로 나타낸 값입니다.
[5] #16 7.RP.A.3 가장 가까운 선택지로 반올림합니다. $16.67\%$ 는 $15\%$ 와 $17\%$ 사이에 있지만, $17$ 까지의 거리($0.33$)가 $1

검토

합리성 확인: 원리대로 다시 한 번 확인합니다. 새 겉넓이 $= 24 + 4 = 28$, 증가량은 $28 - 24 = 4$, 증가율은 $4 \div 24 = 0.1\overline{6} = 16.\overline{6}\%$. 관점 바꾸기로 얻은 값과 일치하고, 보기 중에서는 (C) $17$ 이 가장 가깝습니다. 선택지 자체로도 한 번 더 점검: $10\%$ 라면 증가량이 $2.4$ 가 되어야 하는데(맞붙은 자리에서 사라지고 추가되는 면적은 정수 단위라 불가능), $25\%$ 라면 증가량이 $6$ 이어야 하는데 작은 정육면체가 새로 노출할 수 있는 면적은 $5$ 가 최대라 또 불가능. 결국 (C) 만이 기하학적으로 성립합니다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 변화량 대신 새 겉넓이를 처음부터 다시 구하는 방법. 큰 정육면체는 $6 \times 4 = 24$ 에서 윗면의 $1 \times 1$ 패치를 빼 $23$, 작은 정육면체는 위면과 옆 네 면, $5 \times 1 = 5$. 총합 $23 + 5 = 28$ 이고 증가량은 $4$, 증가율은 $\tfrac{4}{24} \approx 16.67\% \to (C)$. 같은 답이지만 계산이 더 많아요 — 그래서 관점 바꾸기가 이 문제에서는 더 깔끔한 도구입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 6.G.A.4 전개도로 3차원 도형을 나타내고 겉넓이 구하기 (원래 정육면체의 겉넓이를 $6 \times 2^2 = 24$ 로 구하고, 작은 정육면체를 올렸을 때 새로 더해지거나 가려지는 $1 \times 1$ 단위 면을 세는 데 사용.)
  • 7.RP.A.3 비례 관계를 활용한 여러 단계의 백분율 문제 해결 (겉넓이 변화량 $+4$ 를 원래 값 $24$ 의 백분율로 환산해 $\tfrac{4}{24} \approx 16.67\%$ 를 얻고, 보기 중 가장 가까운 정수 $17\%$ 를 고르는 데 사용.)

⭐ 새 입체를 통째로 다시 세지 마세요. $1 \times 1 \times 1$ 정육면체를 올려 붙이면 $1 \times 1$ 패치 한 장이 가려지고 $1 \times 1$ 면 다섯 장이 새로 드러나니, 겉넓이는 $4$ 만큼 늘어납니다. $\tfrac{4}{24} \approx 16.7\%$, 반올림하면 $17\%$ — 답은 (C).

⭐ 새 입체를 통째로 다시 세지 마세요. $1 \times 1 \times 1$ 정육면체를 올려 붙이면 $1 \times 1$ 패치 한 장이 가려지고 $1 \times 1$ 면 다섯 장이 새로 드러나니, 겉넓이는 $4$ 만큼 늘어납니다. $\tfrac{4}{24} \approx 16.7\%$, 반올림하면 $17\%$ — 답은 (C).

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