AMC 8 · 2001 · #11

학년 6 geometry-2d

coordinate-geometryarea-rectanglesarea-triangles coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Points $A$ , $B$ , $C$ and $D$ have these coordinates: $A(3,2)$ , $B(3,-2)$ , $C(-3,-2)$ and $D(-3, 0)$ . The area of quadrilateral $ABCD$ is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 좌표평면 위에 네 점 $A(3,2)$, $B(3,-2)$, $C(-3,-2)$, $D(-3,0)$ 이 있습니다. 이 순서대로 이어 사각형 $ABCD$ 를 만들었을 때, 그 넓이를 구하세요.

주어진 것: 꼭짓점: $A(3,2)$, $B(3,-2)$, $C(-3,-2)$, $D(-3,0)$; 변은 순서대로 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $21$, (E) $24$

구하는 것: 사각형 $ABCD$ 의 넓이

이해

주어진 것: 꼭짓점: $A(3,2)$, $B(3,-2)$, $C(-3,-2)$, $D(-3,0)$; 변은 순서대로 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $21$, (E) $24$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

좌표가 주어지면 가장 먼저 할 일은 도구 #1(그림 그리기)입니다. 모눈종이에 네 점을 찍고 순서대로 잇기만 해도 사각형의 모양이 한눈에 보입니다. 그런데 변 $DA$ 하나만 비스듬해 다루기 까다롭습니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 씁니다. $x$ 축을 기준으로 사각형을 자르면 아래쪽은 직사각형, 위쪽은 직각삼각형이 되고, 둘 다 가로·세로가 격자선과 나란해 6학년 넓이 공식 한 줄이면 끝납니다. 좌표 공식이나 신발끈 공식(도구 #13) 같은 무거운 도구는 일부러 피했습니다 — 분할이 더 빠르고 초등 공식만으로도 충분하기 때문입니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

네 점을 모눈에 찍고 $A \to B \to C \to D \to A$ 순서로 잇습니다.
변 $AB$, $BC$, $CD$ 는 모두 격자선과 나란하고, 변 $DA$ 만 비스듬합니다.
결과적으로 두 평행한 수직 변 $AB$, $CD$ 를 가진 사다리꼴이 만들어집니다.

$$A(3,2),\; B(3,-2),\; C(-3,-2),\; D(-3,0)$$

💡 좌표평면에 순서쌍을 찍어 도형을 읽어내는 것은 5학년 좌표 그리기의 핵심입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

$x$ 축을 자르는 선으로 삼습니다.
이 선은 점 $D(-3,0)$ 과 변 $DA$ 위의 점 $(3,0)$ 을 지나면서 사각형 $ABCD$ 를 위·아래 두 조각으로 깔끔하게 나눕니다.
아래는 직사각형, 위는 직각삼각형입니다.

$$\text{직사각형: }(-3,-2),(3,-2),(3,0),(-3,0) \quad\text{삼각형: }(-3,0),(3,0),(3,2)$$

💡 다각형을 직사각형과 직각삼각형으로 쪼개 넓이를 구하는 것이 6학년 "구성·분할로 넓이 구하기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 3

직사각형의 넓이를 구합니다.
가로는 $x=-3$ 부터 $x=3$ 까지 $6$, 세로는 $y=-2$ 부터 $y=0$ 까지 $2$.

$$A_{\text{직}} = 6 \times 2 = 12$$

💡 직사각형 넓이 = 가로 $\times$ 세로 는 4학년 공식입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

직각삼각형의 넓이를 구합니다.
수평 다리는 $(-3,0)$ 에서 $(3,0)$ 까지 길이 $6$, 수직 다리는 $(3,0)$ 에서 $(3,2)$ 까지 길이 $2$.

$$A_{\text{삼}} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$$

💡 직각삼각형 넓이 = 밑변 $\times$ 높이 $\div 2$ 는 6학년 표준 공식입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

두 조각은 자른 선 위에서만 만나고 겹치지 않으므로 넓이를 그대로 더하면 됩니다.

$$A_{ABCD} = A_{\text{직}} + A_{\text{삼}} = 12 + 6 = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 겹치지 않는 조각들의 넓이는 그냥 더하면 된다는 것 — 분할 표준의 핵심입니다.

[1] #1 5.G.A.2 네 점을 모눈에 찍고 $A \to B \to C \to D \to A$ 순서로 잇습니다. 변 $AB$, $BC$, $CD$ 는 모두 격자선과 나

[2] #7 6.G.A.1 $x$ 축을 자르는 선으로 삼습니다. 이 선은 점 $D(-3,0)$ 과 변 $DA$ 위의 점 $(3,0)$ 을 지나면서 사각형 $ABCD$ 를

[3] #7 4.MD.A.3 직사각형의 넓이를 구합니다. 가로는 $x=-3$ 부터 $x=3$ 까지 $6$, 세로는 $y=-2$ 부터 $y=0$ 까지 $2$.

[4] #7 6.G.A.1 직각삼각형의 넓이를 구합니다. 수평 다리는 $(-3,0)$ 에서 $(3,0)$ 까지 길이 $6$, 수직 다리는 $(3,0)$ 에서 $(3,2)$

[5] #7 6.G.A.1 두 조각은 자른 선 위에서만 만나고 겹치지 않으므로 넓이를 그대로 더하면 됩니다.

검토

합리성 확인: 테두리 직사각형으로 확인해 봅시다. 네 점을 모두 담는 가장 작은 직사각형은 $x \in [-3,3]$, $y \in [-2,2]$ 로 넓이가 $6 \times 4 = 24$. 우리의 답 $18$ 은 $24$ 보다 작아야 하는데 실제로 작고, 빠진 조각은 꼭짓점이 $(-3,2),(3,2),(-3,0)$ 또는 $(-3,0),(-3,2),(3,2)$ 인 직각삼각형으로 넓이는 $\tfrac{1}{2}(6)(2)=6$. 그래서 $24-6=18$ 로 일치합니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 두 조각을 더하는 대신, 테두리 직사각형의 넓이 $24$ 에서 사각형 바깥 부분인 직각삼각형(꼭짓점 $(-3,0),(-3,2),(3,2)$, 넓이 $\tfrac{1}{2}(6)(2)=6$)을 빼도 $24-6=18$ 로 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.2 좌표평면에 점을 찍어 실생활·수학 문제를 표현하기 (네 꼭짓점을 좌표평면에 찍어 사각형 $ABCD$ 의 모양을 눈으로 확인하는 데 사용.)
4.MD.A.3 직사각형의 넓이·둘레 공식을 실생활·수학 문제에 적용하기 (잘라낸 직사각형 조각의 넓이를 가로 $\times$ 세로 $= 6 \times 2 = 12$ 로 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형과 다각형의 넓이를 직사각형으로 구성하거나 삼각형으로 분할하여 구하기 ($ABCD$ 를 $x$ 축으로 직사각형과 직각삼각형으로 쪼개고 두 넓이를 더해 $18$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 점을 찍고 도형을 직사각형과 직각삼각형으로 쪼개세요 — 둘 다 6학년 넓이 공식이고, 합이 곧 답이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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