AMC 8 · 2002 · #15

• 쪼갤 조각을 정합니다.
• 꼭짓점이 모두 격자점이므로 각 다각형을 단위 정사각형(넓이 $1$) 과 다리가 $1$ 인 직각삼각형(넓이 $\tfrac{1}{2}$) 으로 자를 수 있어요.
• 다각형마다 정사각형 개수와 절반짜리 삼각형 개수를 세는 게 계산의 전부입니다.

💡 도형을 정사각형과 삼각형으로 분해해서 넓이를 구하는 것은 6학년 "도형 합성·분해" 방식 그대로입니다.

• 다각형 A 의 넓이.
• 꼭짓점이 $(0,0),(4,0),(3,1),(3,3),(2,3),(2,1),(1,1)$ 인 7각형을 그립니다.
• 밑변 띠 $y=0$ 부터 $y=1$ 까지, $x=0$ 부터 $x=4$ 까지의 $4 \times 1$ 직사각형에서 양쪽 대각선 모서리 $(4,0)\to(3,1)$ 과 $(1,1)\to(0,0)$ 의 삼각형 두 개를 빼면 $4 - 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$.
• 그 위로 $x=2$ 부터 $x=3$, $y=1$ 부터 $y=3$ 까지 세로 $1 \times 2$ 직사각형이 $2$ 를 더합니다.
• 합: $3 + 2 = 5$.

💡 격자 위에 7각형을 그리면 사다리꼴 밑판과 세로 기둥, 두 조각이 자연스럽게 보입니다.

• 다각형 B 의 넓이.
• 꼭짓점이 $(0,0),(4,0),(4,1),(3,1),(3,2),(2,1),(1,1),(0,2)$ 인 8각형을 그립니다.
• 밑변 직사각형 $(0,0)\to(4,1)$ 은 넓이 $4$.
• 왼쪽 위 $(1,1)\to(0,2)$ 컷으로 절반 삼각형 $\tfrac{1}{2}$ 가 빠지고, 위쪽 삼각형 $(3,1),(3,2),(2,1)$ (다리 $1,1$) 이 $\tfrac{1}{2}$ 를 더합니다.
• 합: $4 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 4$.

💡 큰 사각형에서 모서리 삼각형을 빼고 지붕 삼각형을 더하면 두 절반이 상쇄됩니다.

• 다각형 C 의 넓이.
• 꼭짓점이 $(0,1),(1,0),(3,2),(3,3),(1,1),(1,3),(0,4)$ 인 7각형을 그립니다.
• 대각선 분해가 까다로우니, 좌표를 이용한 신발끈 공식으로 점검합니다: $\tfrac{1}{2}\,|{-1}+2+3+0+2+4+0| = \tfrac{1}{2}\cdot 10 = 5$.
• 따라서 $\text{넓이}_C = 5$.

💡 분해가 엉킬 때는 좌표 신발끈 공식으로 타일 수를 확인 — 결과는 동일하게 $5$.

• 다각형 D 의 넓이.
• 꼭짓점이 $(0,1),(2,1),(3,0),(3,3),(2,2),(1,3),(1,2),(0,2)$ 인 8각형을 그립니다.
• 신발끈 공식: $\tfrac{1}{2}\,|{-2}-3+9+0+4-1+2+0| = \tfrac{1}{2}\cdot 9 = 4.5$.
• 따라서 $\text{넓이}_D = 4.5$.

💡 D 만 안쪽으로 움푹 파인 부분이 있어 남은 $\tfrac{1}{2}$ 가 넓이를 $5$ 아래로 끌어내립니다.

• 다각형 E 의 넓이.
• 꼭짓점이 $(1,0),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(0,4),(1,3)$ 인 7각형을 그립니다.
• 신발끈 공식: $\tfrac{1}{2}\,|1+4-5+6+12-4-3| = \tfrac{1}{2}\cdot 11 = 5.5$.
• 따라서 $\text{넓이}_E = 5.5$.

💡 E 만 $y = 4$ 줄까지 넓게 닿아 있어, 그 위쪽 띠 한 줄이 추가 $\tfrac{1}{2}$ 차이를 만듭니다.

• 비교하고 제거합니다.
• 다섯 넓이를 나란히 두면 $A=5,\; B=4,\; C=5,\; D=4.5,\; E=5.5$.
• 가장 큰 값은 $5.5$, 다각형 E.
• (A), (B), (C), (D) 는 모두 더 작으므로 지워지고, (E) 가 정답입니다.

💡 다섯 넓이가 다 손에 들어오면 객관식은 "최댓값 고르기" 로 바뀝니다.