AMC 8 · 2001 · #14
학년 4 counting문제
Tyler has entered a buffet line in which he chooses one kind of meat, two different vegetables and one dessert. If the order of food items is not important, how many different meals might he choose?
Meat: beef, chicken, pork
Vegetables: baked beans, corn, potatoes, tomatoes
Dessert: brownies, chocolate cake, chocolate pudding, ice cream
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 타일러는 고기 $3$ 가지 중 $1$ 가지, 채소 $4$ 가지 중 서로 다른 $2$ 가지, 디저트 $4$ 가지 중 $1$ 가지를 골라 한 끼 식사를 만듭니다. 음식 순서는 중요하지 않습니다. 가능한 서로 다른 식사 구성은 몇 가지인가요?
주어진 것: 고기: beef, chicken, pork ($3$ 가지 중 $1$ 가지 선택); 채소: baked beans, corn, potatoes, tomatoes ($4$ 가지 중 서로 다른 $2$ 가지 선택); 디저트: brownies, chocolate cake, chocolate pudding, ice cream ($4$ 가지 중 $1$ 가지 선택); 선택지: (A) $4$, (B) $24$, (C) $72$, (D) $80$, (E) $144$
구하는 것: 타일러가 만들 수 있는 서로 다른 식사의 총 가짓수
이해
문제 재정리: 타일러는 고기 $3$ 가지 중 $1$ 가지, 채소 $4$ 가지 중 서로 다른 $2$ 가지, 디저트 $4$ 가지 중 $1$ 가지를 골라 한 끼 식사를 만듭니다. 음식 순서는 중요하지 않습니다. 가능한 서로 다른 식사 구성은 몇 가지인가요?
주어진 것: 고기: beef, chicken, pork ($3$ 가지 중 $1$ 가지 선택); 채소: baked beans, corn, potatoes, tomatoes ($4$ 가지 중 서로 다른 $2$ 가지 선택); 디저트: brownies, chocolate cake, chocolate pudding, ice cream ($4$ 가지 중 $1$ 가지 선택); 선택지: (A) $4$, (B) $24$, (C) $72$, (D) $80$, (E) $144$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
한 끼 식사는 세 개의 독립된 부분으로 이루어져요. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 "고기 고르기, 채소 짝 고르기, 디저트 고르기" 세 조각으로 나누고, 세 결과를 곱하면 됩니다. 신경 써야 할 부분은 "서로 다른 채소 $2$ 가지, 순서 무관" 인 채소 짝뿐인데, 이건 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 같은 짝을 두 번 세지 않도록 한 번씩 적으면 끝납니다. 조합 공식 $\binom{n}{k}$ 나 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 작은 수의 곱셈만으로 풀려요.
실행 — 정답: C
3.OA.A.1 단계 1 - 작은 문제 1: 고기 가짓수를 셉니다.
- 세 가지 중 하나를 고르는 것이므로 곧바로 $3$ 입니다.
💡 세 가지 중 하나를 고르는 방법은 그냥 세 가지입니다.
4.OA.A.3 단계 2 - 작은 문제 2: 채소의 "순서 없는 짝" 의 수를 셉니다.
- 채소에 $1$ (baked beans), $2$ (corn), $3$ (potatoes), $4$ (tomatoes) 번호를 매기고, 각 채소에 대해 "자기보다 번호가 큰" 채소와의 짝만 적으면 같은 짝을 두 번 세는 일이 없습니다.
💡 "악수 문제" 와 같은 셈입니다. 채소 $1$ 번은 새 짝이 $3$ 개, $2$ 번은 $2$ 개 ($1$ 번과의 짝은 이미 셌어요), 같은 식으로 진행됩니다.
3.OA.A.1 단계 3 - 작은 문제 3: 디저트 가짓수를 셉니다.
- 네 가지 중 하나를 고르는 것이므로 $4$ 입니다.
💡 네 가지 중 하나를 고르는 방법은 네 가지입니다.
4.OA.A.3 단계 4 - 세 작은 문제의 결과를 합칩니다.
- 고기·채소 짝·디저트는 서로 독립적으로 고르므로 총 식사 수는 세 가짓수의 곱입니다.
💡 고기 하나마다 채소 짝 $6$ 가지가 가능하므로 ($3 \times 6 = 18$ 개의 고기·채소 조합), 그 각각에 디저트 $4$ 가지가 붙어 $18 \times 4 = 72$ 가 됩니다.
3.OA.A.1 작은 문제 1: 고기 가짓수를 셉니다. 세 가지 중 하나를 고르는 것이므로 곧바로 $3$ 입니다. 4.OA.A.3 작은 문제 2: 채소의 "순서 없는 짝" 의 수를 셉니다. 채소에 $1$ (baked beans), $2$ (corn), $3$ (potatoe 3.OA.A.1 작은 문제 3: 디저트 가짓수를 셉니다. 네 가지 중 하나를 고르는 것이므로 $4$ 입니다. 4.OA.A.3 세 작은 문제의 결과를 합칩니다. 고기·채소 짝·디저트는 서로 독립적으로 고르므로 총 식사 수는 세 가짓수의 곱입니다. 검토
합리성 확인: 크기 점검: $72$ 는 $24$ (채소 짝을 "채소 하나 고르기 ($4$ 가지)" 처럼 처리하면 나오는 너무 작은 값) 와 $144$ (채소 짝을 순서 있게 $4 \times 3 = 12$ 로 세어 두 배가 된 값) 의 사이에 자리합니다. 함정 선택지는 흔한 실수에서 나옵니다 — (A) $4$ 는 그냥 가짓수를 더하다 만 값, (B) $24 = 3 \times 2 \times 4$ 는 채소를 하나만 센 경우, (D) $80$ 은 패턴에서 벗어난 함정, (E) $144 = 3 \times 12 \times 4$ 는 채소 짝을 순서 있게 세어 두 번씩 센 경우입니다. (C) 를 골랐다면 세 부분을 따로 잘 세고, 짝을 "순서 없는 짝" 으로 올바르게 다뤘다는 뜻이에요.
대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 채소 규칙을 먼저 "하나만 고르기" 로 바꿔 봅니다. "고기 $1$, 채소 $1$, 디저트 $1$" 이면 $3 \times 4 \times 4 = 48$ 가지. 이제 채소를 "서로 다른 $2$ 가지, 순서 무관" 으로 업그레이드하면 $4$ 라는 인수가 $\tfrac{4 \times 3}{2} = 6$ 으로 바뀝니다 (첫 채소 $4$ 가지, 둘째 $3$ 가지, 같은 짝이 두 번 세어졌으니 $2$ 로 나눔). 따라서 $3 \times 6 \times 4 = 72$, 다시 (C).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.A.1곱셈을 묶음의 개수로 해석하기 ("고기 $3$ 가지", "디저트 $4$ 가지" 를 각 묶음에서 하나를 고르는 방법의 수로 읽어내는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 풀기 (채소의 $6$ 가지 짝을 빠짐없이 나열하고, $3 \times 6 \times 4 = 72$ 로 세 작은 문제의 결과를 합쳐 답을 구하는 데 사용.)
⭐ 식사의 부분마다 따로 세고 곱하세요. 핵심은 채소 짝뿐 — 같은 짝을 두 번 세지 않게 나열하면 $12$ 가 아닌 $6$ 이 나옵니다. $3 \times 6 \times 4 = 72$, 답은 (C).
⭐ 식사의 부분마다 따로 세고 곱하세요. 핵심은 채소 짝뿐 — 같은 짝을 두 번 세지 않게 나열하면 $12$ 가 아닌 $6$ 이 나옵니다. $3 \times 6 \times 4 = 72$, 답은 (C).
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