AMC 8 · 2001 · #18

학년 7 probabilitycounting

probability-basiccomplementary-countingmultiplesfraction-arithmetic complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicmultiples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Two dice are thrown. What is the probability that the product of the two numbers is a multiple of 5?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{36}$

(B)

$\dfrac{1}{18}$

(C)

$\dfrac{1}{6}$

(D)

$\dfrac{11}{36}$

(E)

$\dfrac{1}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 정육면체 주사위 $2$ 개를 던집니다. 나온 두 수의 곱이 $5$ 의 배수일 확률을 구하세요.

주어진 것: 공정한 주사위 $2$ 개를 던지며, 각 주사위 눈은 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 중 하나; 두 주사위는 서로 독립이므로 순서쌍 결과는 $6 \times 6 = 36$ 가지, 모두 동등한 확률; $P(\text{두 수의 곱이 } 5 \text{ 의 배수})$ 를 구한다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{36}$, (B) $\tfrac{1}{18}$, (C) $\tfrac{1}{6}$, (D) $\tfrac{11}{36}$, (E) $\tfrac{1}{3}$

구하는 것: 두 주사위 눈의 곱이 $5$ 의 배수가 될 확률

이해

문제 재정리: 공정한 정육면체 주사위 $2$ 개를 던집니다. 나온 두 수의 곱이 $5$ 의 배수일 확률을 구하세요.

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합 세기)

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

먼저 '곱이 $5$ 의 배수'를 '두 주사위 중 적어도 하나가 $5$'로 바꿉니다 — $5$ 는 소수이고 주사위에서 $5$ 의 배수는 $5$ 뿐이라 가능한 일이에요. '적어도 하나' 라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기·여집합 세기)의 신호: '정확히 하나', '정확히 둘' 을 따로 더하지 말고, 더 쉬운 반대 사건 '두 주사위 모두 $5$ 가 아님' 을 세서 $1$ 에서 빼면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 $6 \times 6 = 36$ 가지 동등 결과의 틀을 잡아주는 보조 도구입니다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 6.NS.B.4 단계 1

사건을 더 단순한 형태로 바꿉니다.
$5$ 가 소수이므로, 곱 $a \cdot b$ 가 $5$ 의 배수일 조건은 $a$ 또는 $b$ 가 $5$ 의 배수라는 것입니다.
일반 주사위에서 $5$ 의 배수인 면은 $5$ 뿐이므로, 이 사건은 '두 주사위 중 적어도 하나가 $5$' 와 같습니다.

$$\{a \cdot b \equiv 0 \pmod 5\} \;=\; \{a = 5 \text{ 또는 } b = 5\}$$

💡 어려운 사건을 같은 뜻의 더 쉬운 사건으로 바꾸는 6학년 '소인수' 감각을 확률에 그대로 적용한 것.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

표본공간 크기를 셉니다.
두 주사위는 독립이므로 동등한 순서쌍 $(a,b)$ 는 $6 \times 6$ 격자에 놓입니다.

$$|\text{표본공간}| = 6 \times 6 = 36$$

💡 순서쌍 $(a,b)$ 를 $6 \times 6$ 격자에 나열하는 것은 두 독립 시행에 대한 7학년 표준 셋업.

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 7.SP.C.8 단계 3

여집합으로 관점을 바꿉니다.
'적어도 하나 $5$' 를 직접 세는 대신, 더 쉬운 반대 사건 '두 주사위 모두 $5$ 가 아님' 을 셉니다.
각 주사위가 허용되는 면은 $\{1,2,3,4,6\}$ 의 $5$ 가지이고, 두 주사위는 독립입니다.

$$P(5 \text{ 안 나옴}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$$

💡 '적어도 하나' 는 거의 항상 $1 - P(\text{하나도 없음})$ 으로 바꾸는 게 빨라요 — 그게 도구 #16 의 여집합 트릭.

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 7.SP.C.7 단계 4

$1$ 에서 빼서 답을 얻습니다.

$$P(\text{적어도 하나 } 5) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 모든 결과는 '$5$ 가 있다' 와 '$5$ 가 없다' 둘 중 하나이므로 두 확률의 합이 $1$.

[1] #16 6.NS.B.4 사건을 더 단순한 형태로 바꿉니다. $5$ 가 소수이므로, 곱 $a \cdot b$ 가 $5$ 의 배수일 조건은 $a$ 또는 $b$ 가 $5$

[2] #2 7.SP.C.8 표본공간 크기를 셉니다. 두 주사위는 독립이므로 동등한 순서쌍 $(a,b)$ 는 $6 \times 6$ 격자에 놓입니다.

[3] #16 7.SP.C.8 여집합으로 관점을 바꿉니다. '적어도 하나 $5$' 를 직접 세는 대신, 더 쉬운 반대 사건 '두 주사위 모두 $5$ 가 아님' 을 셉니다. 각

[4] #16 7.SP.C.7 $1$ 에서 빼서 답을 얻습니다.

검토

합리성 확인: $6 \times 6$ 격자에서 직접 세 봅니다. 첫 주사위가 $5$ 인 결과: $(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)$ — $6$ 가지. 둘째 주사위가 $5$ 인 결과: $(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)$ — 또 $6$ 가지. $(5,5)$ 가 두 목록에 모두 들어가므로 포함-배제로 유리한 결과는 $6 + 6 - 1 = 11$, 확률은 $\dfrac{11}{36}$ — 답 (D) 와 일치합니다. 직관 점검: 한쪽 주사위만 따로 $5$ 일 확률은 $\tfrac{1}{6} \approx 0.167$ 이므로 '적어도 하나 $5$' 는 $(5,5)$ 중복 때문에 $\tfrac{2}{6} \approx 0.333$ 보다 살짝 작아야 하고, $\tfrac{11}{36} \approx 0.306$ 이 딱 그 자리.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 만으로 풀기. 유리한 사건을 '$5$ 가 몇 개 나왔나' 로 서로소 경우로 쪼갭니다. 정확히 두 개 $5$: $(5,5)$ 한 가지. 정확히 한 개 $5$: $5$ 가 첫째 주사위 또는 둘째 주사위에 있고 나머지 주사위는 $\{1,2,3,4,6\}$ 의 $5$ 가지, 즉 $2 \times 5 = 10$ 가지. 합계 $1 + 10 = 11$, 확률 $\dfrac{11}{36}$. 답 (D) 동일.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 이를 이용해 사건의 확률을 구하기; 모형의 확률을 실제 관측 빈도와 비교하기 ($36$ 가지 순서쌍 $(a,b)$ 를 모두 동등하게 보고, 확률 $=$ 유리한 결과 수 $\div 36$ 으로 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직적 목록, 표, 수형도, 시뮬레이션을 이용해 복합사건의 확률 구하기 (두 주사위의 독립성을 이용해 $6 \times 6$ 격자에서 $P(\text{5 안 나옴}) = \tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{5}{6} = \tfrac{25}{36}$ 을 계산하는 데 사용.)
6.NS.B.4 최대공약수와 최소공배수 구하기; 소수·약수의 성질 활용 ($5$ 가 소수라는 사실을 이용해 '곱이 $5$ 의 배수' 와 '두 인수 중 하나가 $5$ 의 배수' 가 동치임을 보이고, 결국 '주사위 중 하나가 $5$' 사건으로 환원하는 데 사용.)

⭐ 곱이 $5$ 의 배수가 되려면 적어도 한 주사위가 $5$ 여야 해요. 쉬운 반대 — '둘 다 $5$ 아님', $\tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{5}{6} = \tfrac{25}{36}$ — 을 빼서 $1 - \tfrac{25}{36} = \tfrac{11}{36}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

비슷한 유형 더 풀어보기