AMC 8 · 2004 · #21
학년 7 probability문제
Spinners and are spun. On each spinner, the arrow is equally likely to land on each number. What is the probability that the product of the two spinners' numbers is even?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 스피너 $A$ 는 $1, 2, 3, 4$ 가 적힌 똑같은 크기의 네 칸으로, 스피너 $B$ 는 $1, 2, 3$ 이 적힌 똑같은 크기의 세 칸으로 나뉘어 있습니다. 두 스피너를 한 번씩 돌렸을 때, 두 수의 곱이 짝수가 될 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 스피너 $A$: $\{1, 2, 3, 4\}$, 네 칸 모두 크기가 같다; 스피너 $B$: $\{1, 2, 3\}$, 세 칸 모두 크기가 같다; 한 스피너 안에서 각 칸이 나올 확률은 모두 같다; 두 스피너는 서로 독립이다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
구하는 것: 곱 $A \times B$ 가 짝수일 확률
이해
문제 재정리: 스피너 $A$ 는 $1, 2, 3, 4$ 가 적힌 똑같은 크기의 네 칸으로, 스피너 $B$ 는 $1, 2, 3$ 이 적힌 똑같은 크기의 세 칸으로 나뉘어 있습니다. 두 스피너를 한 번씩 돌렸을 때, 두 수의 곱이 짝수가 될 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 스피너 $A$: $\{1, 2, 3, 4\}$, 네 칸 모두 크기가 같다; 스피너 $B$: $\{1, 2, 3\}$, 세 칸 모두 크기가 같다; 한 스피너 안에서 각 칸이 나올 확률은 모두 같다; 두 스피너는 서로 독립이다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기)
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
"곱이 짝수" 인 경우는 짝$\times$짝, 짝$\times$홀, 홀$\times$짝 으로 세 가지지만, 여집합인 "곱이 홀수" 는 두 스피너 모두 홀수일 때 하나뿐입니다. 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합으로 세기)을 쓰면 복잡한 사건을 깔끔한 사건으로 바꾸고, 그 확률을 구한 뒤 $1$ 에서 빼면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 여집합을 다시 $P(A \text{ 홀})$ 과 $P(B \text{ 홀})$ 이라는 두 개의 작은 문제로 나누고, 독립이므로 곱해 줍니다.
실행 — 정답: D
7.SP.C.8 단계 1 - 여집합으로 관점을 바꿉니다.
- 곱 $A \times B$ 는 $A$ 와 $B$ 가 둘 다 홀수일 때만 홀수이므로, $P(\text{짝수}) = 1 - P(\text{둘 다 홀수})$.
- 세 경우 대신 한 경우만 다루면 됩니다.
💡 짝수 $\times$ 무엇이든 짝수이므로 곱이 홀수가 되려면 두 수 모두 홀수여야 합니다. 여집합이 훨씬 작으니 그쪽을 세는 게 효율적입니다.
7.SP.C.7 단계 2 - 스피너 $A$ 의 작은 문제를 풉니다.
- 스피너 $A$ 의 네 칸 중 홀수는 $1, 3$ 두 개입니다.
💡 확률이 같은 칸이므로 유리한 칸 $\div$ 전체 칸. 네 칸 중 홀수가 두 칸이라 $1/2$ 입니다.
7.SP.C.7 단계 3 - 스피너 $B$ 의 작은 문제도 같은 방식으로 풉니다.
- 세 칸 중 홀수는 $1, 3$ 두 개입니다.
💡 같은 규칙: 세 칸 중 두 칸이 홀수이므로 $P = 2/3$.
7.SP.C.8 단계 4 - 두 독립 사건을 곱한 뒤 $1$ 에서 뺍니다.
- 스피너가 서로 독립이므로 두 홀수 확률을 곱해 $P(\text{둘 다 홀})$ 을 얻고, 여집합으로 답을 구합니다.
💡 독립 사건은 곱으로 합치므로 $1/2 \times 2/3 = 1/3$ 이 홀수 곱 확률. 짝수 곱 확률은 나머지인 $2/3$ 입니다.
7.SP.C.8 여집합으로 관점을 바꿉니다. 곱 $A \times B$ 는 $A$ 와 $B$ 가 둘 다 홀수일 때만 홀수이므로, $P(\text{짝수}) = 1 7.SP.C.7 스피너 $A$ 의 작은 문제를 풉니다. 스피너 $A$ 의 네 칸 중 홀수는 $1, 3$ 두 개입니다. 7.SP.C.7 스피너 $B$ 의 작은 문제도 같은 방식으로 풉니다. 세 칸 중 홀수는 $1, 3$ 두 개입니다. 7.SP.C.8 두 독립 사건을 곱한 뒤 $1$ 에서 뺍니다. 스피너가 서로 독립이므로 두 홀수 확률을 곱해 $P(\text{둘 다 홀})$ 을 얻고, 여집합으 검토
합리성 확인: $4 \times 3 = 12$ 가지 결과를 전부 적어 확인해 봅시다. 행별 곱은 $A=1 \to 1,2,3$; $A=2 \to 2,4,6$; $A=3 \to 3,6,9$; $A=4 \to 4,8,12$. 행별 짝수 개수는 $1 + 3 + 1 + 3 = 8$. 확률 $= 8/12 = 2/3$, 답 (D) 와 일치합니다. 직관적으로도 스피너 $A$ 가 절반은 짝수인데 그것만으로 곱이 짝수가 보장되므로 답은 최소 $1/2$ 이상이어야 하고, $2/3$ 은 그 위라 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $4 \times 3$ 곱셈표를 직접 만들어 봅시다. 12개의 곱은 $1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 6, 9, 4, 8, 12$ 이고, 이 중 홀수는 $1, 3, 3, 9$ 의 네 개뿐입니다. 따라서 짝수는 $12 - 4 = 8$ 개, 확률 $= 8/12 = 2/3$. 여집합 지름길 대신 표를 모두 채우는 방식으로도 같은 답 (D) 를 얻습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.B.4약수와 배수를 찾고, 수가 소수인지 합성수인지 판별하기 (스피너 칸의 수를 홀수/짝수로 분류하고 $\text{홀} \times \text{홀} = \text{홀}$ 이라는 규칙으로 곱이 짝수가 되는 경우를 가려내는 데 사용.)7.SP.C.7확률 모형을 만들어 사건의 확률 구하기 (크기가 같은 칸을 모두 동등하게 다루어 $P(A \text{ 홀}) = 1/2$, $P(B \text{ 홀}) = 2/3$ 을 유리한 칸 $\div$ 전체 칸 으로 계산하는 데 사용.)7.SP.C.8정리된 목록·표·수형도·시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (독립인 두 홀수 확률을 곱해 $P(\text{둘 다 홀}) = 1/3$ 을 얻고 $1$ 에서 빼서 $P(\text{곱이 짝수}) = 2/3$ 에 도달하는 데 사용.)
⭐ 짝수 곱은 경우가 여러 가지지만 홀수 곱은 "두 스피너 모두 홀수" 한 가지뿐 — 그 쉬운 경우의 확률 $1/3$ 만 구해서 $1$ 에서 빼면 $2/3$ 입니다.
⭐ 짝수 곱은 경우가 여러 가지지만 홀수 곱은 "두 스피너 모두 홀수" 한 가지뿐 — 그 쉬운 경우의 확률 $1/3$ 만 구해서 $1$ 에서 빼면 $2/3$ 입니다.
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