AMC 8 · 2001 · #22
학년 6 number-theoryarithmetic문제
On a twenty-question test, each correct answer is worth 5 points, each unanswered question is worth 1 point and each incorrect answer is worth 0 points. Which of the following scores is NOT possible?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $20$ 문항 시험입니다. 정답은 $5$ 점, 답안 미기재는 $1$ 점, 오답은 $0$ 점입니다. 다음 점수 중 받을 수 없는 점수는 무엇인가요?
주어진 것: 총 $20$ 문항; 정답 $= 5$ 점, 미기재 $= 1$ 점, 오답 $= 0$ 점; 선택지: (A) $90$, (B) $91$, (C) $92$, (D) $95$, (E) $97$
구하는 것: 다섯 선택지 중 만들 수 없는 총점
이해
문제 재정리: $20$ 문항 시험입니다. 정답은 $5$ 점, 답안 미기재는 $1$ 점, 오답은 $0$ 점입니다. 다음 점수 중 받을 수 없는 점수는 무엇인가요?
주어진 것: 총 $20$ 문항; 정답 $= 5$ 점, 미기재 $= 1$ 점, 오답 $= 0$ 점; 선택지: (A) $90$, (B) $91$, (C) $92$, (D) $95$, (E) $97$
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
선택지 다섯 개 중 하나만 불가능 — 도구 #6(추측하고 확인하기)을 위에서부터 적용하기 좋은 구조입니다. 점수식 $5C + U$ 는 충분히 작아서 $C$ 를 $20$ 부터 내려가며 만들 수 있는 점수를 모두 적을 수 있어요. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 정리하면, 각 $C$ 마다 점수가 깔끔한 구간 $[5C, \, 5C + (20 - C)]$ 안에 들어옵니다. 그러면 $90$ 과 $100$ 사이에 실제로 존재하는 점수가 무엇인지 방정식을 풀지 않고도 한눈에 보입니다.
실행 — 정답: E
6.EE.A.2 단계 1 - 점수식을 세웁니다.
- 정답 $C$ 개, 미기재 $U$ 개라면 점수는 $5C + U$ 입니다.
- 오답은 $0$ 점이므로 $C$ 와 $U$ 만 점수에 기여하고, 둘은 $C + U \le 20$ 을 만족합니다(나머지 $20 - C - U$ 개가 오답).
💡 점수에 짧은 식 이름을 붙이면 빠뜨리는 경우 없이 선택지를 하나씩 확인할 수 있습니다.
6.EE.A.2 단계 2 - 최고점을 찾습니다.
- 가장 좋은 경우는 모두 정답인 $C = 20$, $U = 0$ 으로, 점수는 $5 \times 20 = 100$.
- 이보다 높은 점수는 불가능합니다.
💡 천장부터 출발 — $100$ 을 넘는 점수는 무조건 불가능.
6.EE.A.2 단계 3 - $C$ 를 한 칸 내리고 가능한 점수를 나열합니다.
- $C = 19$ 이면 남는 문항이 $20 - 19 = 1$ 개이고, 그 한 문항은 미기재($U = 1$) 이거나 오답($U = 0$) 입니다.
- 점수는 $5(19) + 1 = 96$ 또는 $5(19) + 0 = 95$.
💡 $C = 19$ 에서 만들 수 있는 최고점은 $96$ — 벌써 $96$ 과 $100$ 사이에 빈틈이 생깁니다.
6.EE.A.2 단계 4 - 한 칸 더 내려 빈틈을 확정합니다.
- $C = 18$ 이면 남는 두 문항에 대해 $U$ 가 $0, 1, 2$ 중 하나, 점수는 $90, 91, 92$ 입니다.
- $90$ 이상 만들 수 있는 점수를 모두 모으면 $C = 20$ 에서 $\{100\}$, $C = 19$ 에서 $\{95, 96\}$, $C = 18$ 에서 $\{90, 91, 92\}$.
- $C \le 17$ 이면 최대가 $5 \cdot 17 + 3 = 88 < 90$ 이므로 더 작은 $C$ 는 무시해도 됩니다.
💡 정리된 목록을 보면 $90$ 이상에서 존재하는 점수가 명확합니다. $93, 94$ 와 $96$ 부터 $100$ 사이는 모두 빠져 있습니다.
6.EE.B.5 단계 5 - 선택지를 목록과 맞춰 봅니다.
- $90$, $91$, $92$, $95$ 는 모두 등장하지만 $97$ 은 목록에 없습니다.
- 따라서 $97$ 이 불가능한 점수입니다.
💡 다섯 선택지 중 오직 $97$ 만이 $96$ 과 $100$ 사이의 빈틈에 들어갑니다.
6.EE.A.2 점수식을 세웁니다. 정답 $C$ 개, 미기재 $U$ 개라면 점수는 $5C + U$ 입니다. 오답은 $0$ 점이므로 $C$ 와 $U$ 만 점수에 6.EE.A.2 최고점을 찾습니다. 가장 좋은 경우는 모두 정답인 $C = 20$, $U = 0$ 으로, 점수는 $5 \times 20 = 100$. 이보다 높 6.EE.A.2 $C$ 를 한 칸 내리고 가능한 점수를 나열합니다. $C = 19$ 이면 남는 문항이 $20 - 19 = 1$ 개이고, 그 한 문항은 미기재($ 6.EE.A.2 한 칸 더 내려 빈틈을 확정합니다. $C = 18$ 이면 남는 두 문항에 대해 $U$ 가 $0, 1, 2$ 중 하나, 점수는 $90, 91, 9 6.EE.B.5 선택지를 목록과 맞춰 봅니다. $90$, $91$, $92$, $95$ 는 모두 등장하지만 $97$ 은 목록에 없습니다. 따라서 $97$ 이 불 검토
합리성 확인: 남은 선택지를 구체적인 경우로 확인합니다. $90 = 5(18) + 0$ (정답 $18$, 오답 $2$). $91 = 5(18) + 1$ (정답 $18$, 미기재 $1$, 오답 $1$). $92 = 5(18) + 2$ (정답 $18$, 미기재 $2$). $95 = 5(19) + 0$ (정답 $19$, 오답 $1$). $97$ 의 경우 $5C + U = 97$ 과 $C + U \le 20$ 을 만족해야 합니다. $C \le 19$ 이면 최대가 $5(19) + 1 = 96 < 97$, $C = 20$ 이면 $U = 0$ 으로 점수가 $100$. 어떤 경우도 맞지 않으므로 $97$ 은 정말 만들 수 없는 점수 — 답은 (E).
대안 접근: 도구 #9(쉬운 문제로 바꾸기): 점수를 만점 $100$ 에서 출발해 오답마다 $5$ 점, 미기재마다 $4$ 점(정답 대비 손실)을 빼는 식 $\text{점수} = 100 - 5W - 4U$ 로 다시 씁니다. 그러면 $100$ 에서 점수까지의 차이는 $4$ 와 $5$ 의 비음 정수 조합이어야 합니다. $0, 4, 5, 8, 9, 10, 12, \dots$ 는 가능하지만 차이 $3$ (즉, $97$ 이 되려면 필요한 값) 은 $4$ 와 $5$ 만으로 만들 수 없습니다. 따라서 $97$ 만이 유일하게 불가능합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (점수를 $5C + U$ 로 두고 제약 $C + U \le 20$ 안에서 각 경우를 따져 보는 데 사용.)6.EE.B.5방정식·부등식을 푼다는 것은 어떤 값이 식을 참으로 만드는지 답하는 것임을 이해하기 (각 선택지를 목표값으로 두고, $5C + U = \text{선택지}$ 를 만족하는 비음 정수 $C, U$ 가 $C + U \le 20$ 안에 있는지를 묻는 데 사용.)
⭐ 점수 $= 5C + U$, 문항은 $20$ 개. $C = 20$ 부터 내려가며 가능한 점수를 적으면 위에서부터 $100$, 그다음 $95$ 와 $96$, 그다음 $90, 91, 92$ 입니다. $97$ 은 $96$ 과 $100$ 사이 빈틈에 들어가서 만들 수 없으므로 답은 (E).
⭐ 점수 $= 5C + U$, 문항은 $20$ 개. $C = 20$ 부터 내려가며 가능한 점수를 적으면 위에서부터 $100$, 그다음 $95$ 와 $96$, 그다음 $90, 91, 92$ 입니다. $97$ 은 $96$ 과 $100$ 사이 빈틈에 들어가서 만들 수 없으므로 답은 (E).