AMC 8 · 2001 · #23

학년 8 geometry-2dcounting

combinations-basicsimilar-figuresspatial-visualizationsystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicsimilar-figures

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

Points $R$ , $S$ and $T$ are vertices of an equilateral triangle, and points $X$ , $Y$ and $Z$ are midpoints of its sides. How many noncongruent triangles can be
drawn using any three of these six points as vertices?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정삼각형의 세 꼭짓점이 $R$, $S$, $T$ 이고, 세 변의 중점이 각각 $X$, $Y$, $Z$ 입니다 — 모두 여섯 개의 점입니다. 이 여섯 점 중 세 점을 골라 삼각형을 만들 때, 서로 합동이 아닌 (그리고 일직선이 아닌) 삼각형은 몇 개나 만들 수 있을까요?

주어진 것: $R$, $S$, $T$ 는 한 정삼각형의 세 꼭짓점이다; $X$ 는 $RT$ 의 중점, $Y$ 는 $RS$ 의 중점, $Z$ 는 $ST$ 의 중점이다; 두 삼각형의 세 변의 길이가 같으면 같은 삼각형으로 센다 (합동 = 한 개); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $20$

구하는 것: 여섯 점 중 세 점으로 만들어지는 서로 합동이 아닌 (그리고 변이 0인 일직선 경우를 뺀) 삼각형의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

여섯 점 사이의 거리는 종류가 몇 개 안 되고, 삼각형은 세 변의 길이로 합동까지 결정됩니다. 그래서 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 가 핵심입니다 — 가능한 거리들을 먼저 다 적고, 실제로 등장하는 변 길이 묶음을 종류별로 세면 됩니다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 주어진 그림에 모든 거리를 적어 두면 피타고라스 한 번이면 모든 변 길이를 읽어낼 수 있어요. 도구 #16 (관점 바꾸기 — 여사건 세기) 는 정리에 유용합니다: $\binom{6}{3} = 20$ 가지 세 점 조합 중 일직선인 세 점 $3$ 가지를 빼면 실제 삼각형은 $17$ 개이고, 그것들을 합동 종류로 묶습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

계산이 편한 변 길이를 정하고 그림에 모든 거리를 적습니다.
큰 정삼각형 $RST$ 의 한 변을 $2$ 로 둡니다.
중점들은 각 변을 반으로 나누므로, "짧은" 선분 (꼭짓점 → 이웃 중점, 또는 중점 → 중점) 은 모두 길이 $1$ 입니다.
가운데 중점삼각형 $XYZ$ 도 한 변 $1$ 인 정삼각형이에요.

$$RS = ST = RT = 2,\qquad RX = XT = RY = YS = SZ = ZT = 1,\qquad XY = YZ = XZ = 1$$

💡 거리들을 그림에 적어 두면 기하 문제가 "분류 문제" 로 바뀝니다. 우리가 셀 모든 삼각형은 길이 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 짜리 변으로만 이루어집니다 — 그 외엔 없어요.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

남은 한 길이를 구합니다 — 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지.
대칭에 의해 $S$ 에서 $X$ 로 가는 선분은 큰 정삼각형의 높이입니다.
직각삼각형 $RXS$ 에서 두 변이 $RX = 1$ 과 $XS$, 빗변이 $RS = 2$ 이므로 피타고라스 정리로 $XS$ 를 구할 수 있어요.

$1^2 + XS^2 = 2^2 \;\Rightarrow\; XS^2 = 3 \;\Rightarrow\; XS = \sqrt{3}$. 대칭에 의해 $RZ = TY = \sqrt{3}$.

💡 꼭짓점에서 마주 보는 변 중점까지의 선분은 한 변 $2$ 인 정삼각형의 높이로, 잘 알려진 $30$-$60$-$90$ 삼각형의 긴 변 $\sqrt{3}$ 이에요.

#16 관점 바꾸기 4.G.A.2 단계 3

여섯 점에서 세 점을 고르는 경우의 수 $\binom{6}{3} = 20$ 가지에서 일직선인 경우 (삼각형이 안 되는 경우) 를 뺍니다.
큰 삼각형의 각 변 위에는 우리 점이 세 개씩 있고 (두 꼭짓점 + 그 사이 중점), 이 셋은 일직선입니다: $\{R,X,T\}$, $\{R,Y,S\}$, $\{S,Z,T\}$.
일직선 조합이 $3$ 개이므로 실제 삼각형은 $20 - 3 = 17$ 개입니다.

$$\binom{6}{3} = 20,\quad \text{일직선 조합} = 3 \;\Rightarrow\; \text{삼각형} = 17$$

💡 삼각형을 직접 다 세는 것보다 "나쁜 경우" (일직선) 를 빼는 것이 빠릅니다. 다음 단계에서 $17$ 개를 합동 종류로 나눠 볼 거예요.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2 단계 4

$17$ 개 삼각형을 변 길이 묶음으로 분류합니다.
모든 삼각형의 변은 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 중 하나이므로 종류는 네 가지뿐이에요.
가장 큰 변부터 차례대로 살펴봅시다.

$$\text{종류 1: }(2,2,2)\;\;\text{종류 2: }(1,1,1)\;\;\text{종류 3: }(1,\sqrt{3},2)\;\;\text{종류 4: }(1,1,\sqrt{3})$$

💡 SSS 합동에 따라 세 변 길이가 같은 두 삼각형은 합동입니다. 그러므로 합동 종류의 개수는 "실제로 등장하는 변 길이 묶음" 의 개수와 같아요.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.A.2 단계 5

각 종류가 정말로 등장하는지 확인하고, 합이 $17$ 인지 검산합니다.
종류 1 은 큰 삼각형 $RST$ 자체 ($1$ 개).
종류 2 는 작은 정삼각형들 — 중점삼각형 $XYZ$ 와 세 모서리 조각 $SYZ$, $RXY$, $TXZ$ ($4$ 개).
종류 3 은 변 $(1, \sqrt{3}, 2)$ 인 직각삼각형으로, 한 꼭짓점 + 이웃 변의 중점 + 마주 보는 꼭짓점 형태 (예: $RXS$, $\sqrt{3}$ 변의 양 끝을 어떻게 잡느냐에 따라 $6$ 개).
종류 4 는 변 $(1, 1, \sqrt{3})$ 인 이등변 둔각삼각형으로, 한 꼭짓점 + 그 꼭짓점에 인접한 두 중점 + "한 중점에서 마주 보는 꼭짓점까지" 형태 (예: $SXY$ — $SX = \sqrt{3}$, $SY = 1$, $XY = 1$).
역시 $6$ 개.

$$1 + 4 + 6 + 6 = 17 \;\checkmark$$

💡 $17$ 개 삼각형이 정확히 $4$ 가지 변 묶음으로 나뉘고 총합도 맞으니, 빠뜨린 종류도 중복 센 종류도 없어요.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.A.2 단계 6

답을 읽습니다: 합동 종류의 수 = 서로 다른 변 길이 묶음의 수 = $4$.

$$\text{서로 합동이 아닌 삼각형} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 변 길이 묶음 $4$ 가지와 일치하는 선택지는 (D) 뿐입니다.

[1] #1 4.G.A.2 계산이 편한 변 길이를 정하고 그림에 모든 거리를 적습니다. 큰 정삼각형 $RST$ 의 한 변을 $2$ 로 둡니다. 중점들은 각 변을 반으로 나

[2] #1 8.G.B.7 남은 한 길이를 구합니다 — 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지. 대칭에 의해 $S$ 에서 $X$ 로 가는 선분은 큰 정삼각형의 높이입니다. 직

[3] #16 4.G.A.2 여섯 점에서 세 점을 고르는 경우의 수 $\binom{6}{3} = 20$ 가지에서 일직선인 경우 (삼각형이 안 되는 경우) 를 뺍니다. 큰 삼

[4] #2 4.G.A.2 $17$ 개 삼각형을 변 길이 묶음으로 분류합니다. 모든 삼각형의 변은 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 중 하나이므로 종류는 네 가지뿐이에

[5] #2 8.G.A.2 각 종류가 정말로 등장하는지 확인하고, 합이 $17$ 인지 검산합니다. 종류 1 은 큰 삼각형 $RST$ 자체 ($1$ 개). 종류 2 는 작은

[6] #2 8.G.A.2 답을 읽습니다: 합동 종류의 수 = 서로 다른 변 길이 묶음의 수 = $4$.

검토

합리성 확인: 두 가지 짧은 검산. 첫째, 네 변 묶음 $(2,2,2)$, $(1,1,1)$, $(1,\sqrt{3},2)$, $(1,1,\sqrt{3})$ 은 누가 봐도 서로 다른 묶음이므로 어떤 두 종류도 합쳐지지 않습니다. 둘째, 삼각부등식을 모두 만족합니다: $1+1 > 1$, $1+\sqrt{3} > 2$ ($\sqrt{3} \approx 1.73$ 이므로 $1+\sqrt{3} \approx 2.73 > 2$), $1+1 > \sqrt{3}$ ($2 > 1.73$). 네 종류 모두 실제로 존재합니다. 또 선택지 (E) $20$ 은 "세 점 고르는 모든 경우의 수" 일 뿐이라서 일직선과 합동을 모두 무시한 함정입니다. 정답 (D) $4$ 가 우리 분류와 정확히 맞아요.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): $17$ 개 삼각형을 일일이 묶지 않고 그림의 $3$ 회 대칭을 활용합니다. 한 꼭짓점, 예를 들어 $S$ 를 고정하고 $S$ 를 포함하는 삼각형만 봅니다 — 대칭에 의해 모든 합동 종류에는 $S$ 를 포함하는 대표 삼각형이 하나는 있습니다. $S$ 에서 갈 수 있는 거리는 $R, T$ 까지 $2$, $Y, Z$ 까지 $1$, $X$ 까지 $\sqrt{3}$. 그러면 $SRT$ → $(2,2,2)$, $SYZ$ → $(1,1,1)$, $SRX$ → $(1,\sqrt{3},2)$, $SYX$ → $(1,1,\sqrt{3})$ 의 네 가지가 모든 합동 종류를 덮고, 서로 합동이 아닙니다. 다시 $4$ 종류, (D) 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용해 모르는 변의 길이를 구하기 (꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지의 길이 ($\sqrt{3}$, 큰 삼각형의 한 변이 $2$ 일 때) 를 빗변 $2$, 다른 한 변 $1$ 인 직각삼각형의 한 변으로 보고 구하는 데 사용.)
8.G.A.2 회전·반사·평행이동의 연속으로 한 도형이 다른 도형이 될 수 있으면 두 도형은 합동임을 이해하기 (세 변 길이가 같은 두 삼각형을 같은 삼각형 (SSS 합동) 으로 보고, $17$ 개 실제 삼각형을 합동 종류로 묶는 데 사용.)
4.G.A.2 평행·수직 선분이나 특정 각의 유무를 보고 평면도형을 분류하기 (삼각형 포함) ($17$ 개 삼각형을 변 길이 묶음 $(2,2,2)$, $(1,1,1)$, $(1,\sqrt{3},2)$, $(1,1,\sqrt{3})$ 네 가지로 분류하는 데 사용.)

⭐ 먼저 그림에 모든 거리를 적으면 등장하는 길이는 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 뿐이에요. 세 변의 길이가 같은 삼각형은 같은 삼각형이므로, 답은 서로 다른 "변 길이 묶음" 의 개수 — $(2,2,2)$, $(1,1,1)$, $(1,\sqrt{3},2)$, $(1,1,\sqrt{3})$, 즉 $\textbf{4}$ 개로 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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