AMC 8 · 2008 · #19

학년 8 geometry-2dcounting

combinations-basicprobability-basiccoordinate-geometrysystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Eight points are spaced around at intervals of one unit around a $2 \times 2$ square, as shown. Two of the $8$ points are chosen at random. What is the probability that the two points are one unit apart?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{2}{7}$

(C)

$\frac{4}{11}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{4}{7}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2 \times 2$ 정사각형의 둘레에 $1$ 단위 간격으로 $8$ 개의 점이 놓여 있습니다 — 네 꼭짓점과 각 변의 중점이죠. 이 $8$ 개 중 두 점을 무작위로 고를 때, 두 점 사이 거리가 정확히 $1$ 단위일 확률을 구하세요.

주어진 것: $2 \times 2$ 정사각형 둘레에 $1$ 단위 간격으로 놓인 $8$ 개의 점; $8$ 개에서 두 점을 무작위로 고른다; 모든 점의 쌍은 동등하게 나올 확률이 같다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{2}{7}$, (C) $\tfrac{4}{11}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{4}{7}$

구하는 것: 두 점 사이 거리가 정확히 $1$ 단위일 확률

이해

계획

주요 도구: #13 하나하나 나열하지 않고 세기

보조 도구: #15 그림 그리기 / 시각화

유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 전형적인 확률 문제예요. 도구 #13(나열 없이 세기)으로 전체 쌍의 수 $\binom{8}{2} = 28$ 을 곧장 구할 수 있고, 도구 #15(시각화)로 그림을 그려 보면 거리 $1$ 인 쌍은 둘레를 따라 인접한 $8$ 개의 짧은 선분뿐이라는 걸 한눈에 셀 수 있습니다. 두 도구를 합치면 $\dfrac{8}{28} = \dfrac{2}{7}$.

실행 — 정답: B

#13 하나하나 나열하지 않고 세기 7.SP.C.8 단계 1

전체 쌍의 수를 셉니다.
$8$ 개 점 중 두 개를 고르는데 순서는 의미가 없으므로 조합 $\binom{8}{2}$ 를 씁니다.

$$\binom{8}{2} = \dfrac{8 \times 7}{2} = 28$$

💡 각 점은 나머지 $7$ 개와 짝지을 수 있으니 순서가 있는 경우는 $8 \times 7 = 56$. 순서가 없는 쌍은 각각 두 번 세지므로 $2$ 로 나눕니다.

#15 그림 그리기 / 시각화 6.G.A.3 단계 2

그림을 그려봅니다.
$8$ 개의 점은 $2 \times 2$ 정사각형의 네 꼭짓점과 네 변의 중점입니다.
둘레를 따라 가면 꼭짓점, 중점, 꼭짓점, 중점, $\ldots$ 순서로 번갈아 나오고, 이웃한 두 점은 정확히 $1$ 단위 떨어져 있습니다.

$$\text{둘레 위 } 8 \text{ 개 점} \to \text{길이 } 1 \text{ 인 둘레 간격 } 8 \text{ 개}$$

💡 $2 \times 2$ 정사각형의 한 변 길이는 $2$ 이고, 중점이 그 변을 두 개의 단위 선분으로 나눕니다 — 한 변당 거리 $1$ 인 쌍이 $2$ 개, 네 변에 총 $8$ 개.

#13 하나하나 나열하지 않고 세기 8.G.B.7 단계 3

다른 쌍은 거리 $1$ 이 될 수 없는지 확인합니다.
인접하지 않은 가장 가까운 거리들: 한 변 양 끝 꼭짓점 $2$, 이웃 변 중점끼리 $\sqrt{2}$, 꼭짓점과 맞은편 중점 $\sqrt{5}$.
모두 $1$ 보다 크므로, 거리 $1$ 인 쌍은 둘레 위 $8$ 개뿐입니다.

$$\text{유리한 쌍} = 8$$

💡 피타고라스로 인접하지 않은 거리들을 확인하면 전부 $\sqrt{2} > 1$ 이상입니다.

#13 하나하나 나열하지 않고 세기 7.SP.C.7 단계 4

확률을 식으로 쓰고 분자·분모를 공약수 $4$ 로 약분합니다.

$$P = \dfrac{8}{28} = \dfrac{2}{7} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $28$ 개 쌍이 모두 동등한 확률이므로, 확률은 단지 "유리한 쌍이 차지하는 비율"입니다.

[1] #13 7.SP.C.8 전체 쌍의 수를 셉니다. $8$ 개 점 중 두 개를 고르는데 순서는 의미가 없으므로 조합 $\binom{8}{2}$ 를 씁니다.

[2] #15 6.G.A.3 그림을 그려봅니다. $8$ 개의 점은 $2 \times 2$ 정사각형의 네 꼭짓점과 네 변의 중점입니다. 둘레를 따라 가면 꼭짓점, 중점, 꼭짓

[3] #13 8.G.B.7 다른 쌍은 거리 $1$ 이 될 수 없는지 확인합니다. 인접하지 않은 가장 가까운 거리들: 한 변 양 끝 꼭짓점 $2$, 이웃 변 중점끼리 $\s

[4] #13 7.SP.C.7 확률을 식으로 쓰고 분자·분모를 공약수 $4$ 로 약분합니다.

검토

합리성 확인: 대칭성으로 빠르게 검산해 봅시다. 점을 하나 먼저 골라 보면 — 꼭짓점이든 중점이든 — 나머지 $7$ 개 중 그 점에서 거리 $1$ 인 이웃이 정확히 $2$ 개입니다. 따라서 두 번째 점이 거리 $1$ 인 이웃일 확률은 $\tfrac{2}{7}$, 답 (B) 와 일치합니다. 다른 선택지도 빠르게 배제됩니다: (A) $\tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{28}$ 은 유리한 쌍이 $7$ 개여야 하고, (C)–(E) 는 $10$ 개 이상이 필요한데 실제로는 $8$ 개뿐이거든요.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 쌍을 세는 시각을 버리고 "먼저 고른 한 점" 에 집중합니다. 그림의 회전 대칭성 덕분에 어떤 점을 골라도 나머지 $7$ 개 중 거리 $1$ 인 이웃이 정확히 $2$ 개입니다. 따라서 조건부확률은 첫 점이 무엇이든 $\tfrac{2}{7}$ — 조합 공식 없이 한 줄로 (B) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 좌표 평면에 다각형을 그리고 변의 길이 구하기 ($8$ 개의 점을 $2 \times 2$ 정사각형 둘레에 배치하고 둘레 위 이웃한 점들이 $1$ 단위 떨어져 있음을 확인하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모델을 세우고 사건의 확률 구하기 ($28$ 개 쌍이 모두 동등한 확률이라 보고 유리한 쌍 $/$ 전체 쌍으로 확률을 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·나무그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (전체 순서 없는 쌍의 수를 나열 없이 $\binom{8}{2} = 28$ 로 세는 데 사용.)
8.G.B.7 두 점 사이 거리를 피타고라스 정리로 구하기 (인접하지 않은 쌍의 거리(변 양 끝, 대각선 등)가 모두 $1$ 보다 크다는 것을 확인해 유리한 쌍이 둘레 위 $8$ 개뿐임을 보장하는 데 사용.)

⭐ 전체 쌍: $\binom{8}{2} = 28$. 거리 $1$ 인 쌍: 정사각형 둘레를 따라 가는 짧은 $8$ 걸음. 확률: $\tfrac{8}{28} = \tfrac{2}{7}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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