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AMC 8 · 2001 · #24

학년 6 countinglogic
유형 Overlap / Complement Counting
complementary-countingset-partitionsystematic-enumerationreflection-symmetry complementary-countingcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: set-partitionsystematic-enumeration
📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

Each half of this figure is composed of 3 red triangles, 5 blue triangles and 8 white triangles. When the upper half is folded down over the centerline, 2 pairs of red triangles coincide, as do 3 pairs of blue triangles. There are 2 red-white pairs. How many white pairs coincide?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
9
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 위·아래로 대칭인 도형이 있어요. 각 절반에는 빨간 삼각형 $3$ 개, 파란 삼각형 $5$ 개, 흰 삼각형 $8$ 개씩, 모두 $16$ 개의 삼각형이 있습니다. 중심선을 따라 위쪽 절반을 아래쪽 절반 위로 접으면 위쪽의 삼각형이 아래쪽 삼각형과 정확히 하나씩 짝을 이뤄 총 $16$ 쌍이 생깁니다. 이때 빨강-빨강 쌍이 $2$ 쌍, 파랑-파랑 쌍이 $3$ 쌍, 빨강-흰색 쌍이 $2$ 쌍 있다고 합니다. 흰색-흰색 쌍은 몇 쌍일까요?

주어진 것: 각 절반에 빨강 $R$ $3$ 개, 파랑 $B$ $5$ 개, 흰색 $W$ $8$ 개; 접으면 총 $16$ 쌍이 만들어진다; $R$-$R$ 쌍 $2$ 쌍; $B$-$B$ 쌍 $3$ 쌍; $R$-$W$ 쌍 $2$ 쌍 (위·아래 방향 무관); 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $9$

구하는 것: 흰색-흰색 ($W$-$W$) 쌍의 개수

이해

문제 재정리: 위·아래로 대칭인 도형이 있어요. 각 절반에는 빨간 삼각형 $3$ 개, 파란 삼각형 $5$ 개, 흰 삼각형 $8$ 개씩, 모두 $16$ 개의 삼각형이 있습니다. 중심선을 따라 위쪽 절반을 아래쪽 절반 위로 접으면 위쪽의 삼각형이 아래쪽 삼각형과 정확히 하나씩 짝을 이뤄 총 $16$ 쌍이 생깁니다. 이때 빨강-빨강 쌍이 $2$ 쌍, 파랑-파랑 쌍이 $3$ 쌍, 빨강-흰색 쌍이 $2$ 쌍 있다고 합니다. 흰색-흰색 쌍은 몇 쌍일까요?

주어진 것: 각 절반에 빨강 $R$ $3$ 개, 파랑 $B$ $5$ 개, 흰색 $W$ $8$ 개; 접으면 총 $16$ 쌍이 만들어진다; $R$-$R$ 쌍 $2$ 쌍; $B$-$B$ 쌍 $3$ 쌍; $R$-$W$ 쌍 $2$ 쌍 (위·아래 방향 무관); 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $9$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

쌍의 종류는 $R$-$R$, $B$-$B$, $W$-$W$, $R$-$B$, $R$-$W$, $B$-$W$ 의 여섯 가지뿐입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 색깔별 총량(빨강 $6$, 파랑 $10$, 흰색 $16$)을 적고 이미 알려진 쌍 수를 채워 넣어요. 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합 세기)이 마무리 도구예요. 흰색-흰색 쌍을 직접 세지 않고, 빨강과 파랑 삼각형을 먼저 모두 처리해서 흰색이 다른 색의 짝으로 얼마나 빠져나갔는지를 확인하면, 남은 흰색은 서로끼리 짝지을 수밖에 없습니다. 식으로 정리하면 표 하나로 끝나는 문제라 도구 #13(대수)은 굳이 꺼내지 않습니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.2 단계 1
  • 삼각형 재고를 정리합니다.
  • 두 절반을 합치면 빨강은 $2 \times 3 = 6$, 파랑은 $2 \times 5 = 10$, 흰색은 $2 \times 8 = 16$.
  • 모두 $32$ 개로, 쌍 $16$ 개의 정확히 두 배입니다.
$$\text{빨강} = 6, \quad \text{파랑} = 10, \quad \text{흰색} = 16$$

💡 쌍 하나가 삼각형 $2$ 개를 쓰니까 "쌍 단위" 와 "개수 단위" 가 깔끔하게 맞아요.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 6.EE.B.6 단계 2
  • 빨강을 빠짐없이 처리합니다.
  • $R$-$R$ 쌍 $2$ 개는 빨강 $2 \times 2 = 4$ 개, $R$-$W$ 쌍 $2$ 개는 빨강 $2$ 개 더 사용.
  • 합 $4 + 2 = 6$ 으로 모든 빨강이 처리됐어요.
  • 남은 빨강이 없으니 $R$-$B$ 쌍은 $0$ 개입니다.
$$\underbrace{2 \cdot 2}_{R\text{-}R} + \underbrace{2 \cdot 1}_{R\text{-}W} = 6 = \text{빨강 총량}$$

💡 빨강 칸을 닫아 두면 남은 색끼리만 짝을 이루게 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.2 단계 3
  • 이미 사용된 흰색을 셉니다.
  • $R$-$W$ 쌍 $2$ 개가 흰색 $2$ 개를 썼으니 아직 짝지어야 할 흰색은 $16 - 2 = 14$ 개.
$$16 - 2 = 14 \text{ (남은 흰색)}$$

💡 빨강 짝으로 빠져나간 흰색은 더 쓸 수 없고, 나머지 흰색만 $B$-$W$ 또는 $W$-$W$ 로 갈 수 있어요.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 6.EE.B.6 단계 4
  • 파랑을 빠짐없이 처리합니다.
  • $B$-$B$ 쌍 $3$ 개는 파랑 $3 \times 2 = 6$ 개 사용.
  • 남은 파랑 $10 - 6 = 4$ 개는 빨강이 닫혔으니 흰색과만 짝지을 수 있고, 그래서 $B$-$W$ 쌍이 $4$ 개 생깁니다.
$$\text{남은 파랑} = 10 - 6 = 4 \;\Rightarrow\; B\text{-}W \text{ 쌍 } 4 \text{ 개}$$

💡 빨강이 닫히면 남은 파랑은 갈 곳이 흰색뿐이에요.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 6.NS.B.2 단계 5
  • 마지막으로 남은 흰색을 셉니다.
  • $B$-$W$ 쌍 $4$ 개가 흰색 $4$ 개를 더 가져가니 $14 - 4 = 10$ 개의 흰색이 남아요.
  • 이 흰색은 서로끼리만 짝지을 수 있으므로 $W$-$W$ 쌍은 $10 \div 2 = 5$ 개입니다.
$$\dfrac{14 - 4}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 다른 색의 짝으로 빠지지 않은 삼각형은 같은 색끼리 짝지을 수밖에 없어요.

[1] #2 6.EE.A.2 삼각형 재고를 정리합니다. 두 절반을 합치면 빨강은 $2 \times 3 = 6$, 파랑은 $2 \times 5 = 10$, 흰색은 $2 \ti
[2] #16 6.EE.B.6 빨강을 빠짐없이 처리합니다. $R$-$R$ 쌍 $2$ 개는 빨강 $2 \times 2 = 4$ 개, $R$-$W$ 쌍 $2$ 개는 빨강 $2$
[3] #2 6.EE.A.2 이미 사용된 흰색을 셉니다. $R$-$W$ 쌍 $2$ 개가 흰색 $2$ 개를 썼으니 아직 짝지어야 할 흰색은 $16 - 2 = 14$ 개.
[4] #16 6.EE.B.6 파랑을 빠짐없이 처리합니다. $B$-$B$ 쌍 $3$ 개는 파랑 $3 \times 2 = 6$ 개 사용. 남은 파랑 $10 - 6 = 4$ 개는
[5] #16 6.NS.B.2 마지막으로 남은 흰색을 셉니다. $B$-$W$ 쌍 $4$ 개가 흰색 $4$ 개를 더 가져가니 $14 - 4 = 10$ 개의 흰색이 남아요. 이

검토

합리성 확인: 쌍 개수 확인: $R\text{-}R + B\text{-}B + R\text{-}W + B\text{-}W + W\text{-}W = 2 + 3 + 2 + 4 + 5 = 16$ 으로 접어서 만들어지는 $16$ 쌍과 일치합니다. 색깔별 총량 확인: 빨강 $= 2(2) + 2(1) = 6$, 파랑 $= 2(3) + 4(1) = 10$, 흰색 $= 2(5) + 1(2) + 1(4) = 16$. 세 합 모두 재고와 정확히 맞으므로 $W$-$W$ 쌍 $5$ 개, 즉 답 (B) 가 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기)을 한쪽 절반에 적용해요. 위쪽 절반의 빨강 $3$ 개 중 $2$ 개는 아래쪽 빨강과 ($R$-$R$), $1$ 개는 아래쪽 흰색과 ($R$-$W$) 짝이 됩니다. 대칭으로 아래쪽 빨강이 위쪽 흰색과 짝지은 $R$-$W$ 가 $1$ 쌍 있으니 위쪽 흰색 $1$ 개가 빠져나갑니다. 같은 방식으로 위쪽 파랑 $5$ 개 중 $3$ 개는 $B$-$B$, 나머지 $2$ 개는 아래쪽 흰색과 짝지어요. 대칭으로 아래쪽 파랑 $2$ 개가 위쪽 흰색 $2$ 개를 추가로 가져갑니다. 위쪽 흰색이 비-흰색 짝으로 쓴 개수는 $1 + 2 = 3$ 개. 위쪽 흰색이 흰색끼리 짝지을 수 있는 개수는 $8 - 3 = 5$ 개. 답은 같은 (B) 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (색깔별 총량(빨강 $6$, 파랑 $10$, 흰색 $16$)을 식으로 적어 각 쌍이 총량에 기여하는 양을 추적하는 데 사용.)
  • 6.EE.B.6 실생활·수학 문제를 풀 때 변수를 사용해 식 쓰기 ("빨강 사용량 $= 6$", "파랑 사용량 $= 10$" 이라는 정산식을 세워 알려지지 않은 쌍 개수를 푸는 데 사용.)
  • 6.NS.B.2 여러 자리 수 나눗셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행 (남은 흰색 $10$ 개를 $2$ 로 나눠 $W$-$W$ 쌍 개수를 구하는 데 사용.)

⭐ 눈에 띄는 색부터 정산해요. 빨강 $6$ 개는 $R$-$R$ 쌍 $2$ 개와 $R$-$W$ 쌍 $2$ 개로 전부 소진. 파랑 $10$ 개 중 $B$-$B$ 쌍 $3$ 개가 $6$ 개를 쓰니 남는 $4$ 개 파랑은 흰색과 짝지어요. 흰색 사용 누계 $2 + 4 = 6$, 남은 흰색 $16 - 6 = 10$ 개 — 흰색끼리 $5$ 쌍, 답은 (B) 입니다.

⭐ 눈에 띄는 색부터 정산해요. 빨강 $6$ 개는 $R$-$R$ 쌍 $2$ 개와 $R$-$W$ 쌍 $2$ 개로 전부 소진. 파랑 $10$ 개 중 $B$-$B$ 쌍 $3$ 개가 $6$ 개를 쓰니 남는 $4$ 개 파랑은 흰색과 짝지어요. 흰색 사용 누계 $2 + 4 = 6$, 남은 흰색 $16 - 6 = 10$ 개 — 흰색끼리 $5$ 쌍, 답은 (B) 입니다.

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