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AMC 8 · 2001 · #9

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-rectanglesarea-trianglessimilar-figurescoordinate-geometry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglessimilar-figures
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

To promote her school's annual Kite Olympics, Genevieve makes a small kite and a large kite for a bulletin board display. The kites look like the one in the diagram. For her small kite Genevieve draws the kite on a one-inch grid. For the large kite she triples both the height and width of the entire grid.

The large kite is covered with gold foil. The foil is cut from a rectangular piece that just covers the entire grid. How many square inches of waste material are cut off from the four corners?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
63
(B)
72
(C)
180
(D)
189
(E)
264
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 주느비에브의 작은 연은 $6 \times 7$ 점 격자 위에 있고, 꼭짓점은 $(3,0),(0,5),(3,7),(6,5)$ 입니다. 큰 연은 격자의 가로·세로를 모두 $3$ 배로 늘려 만듭니다. 큰 격자를 정확히 덮는 직사각형 모양의 금박에서 연 바깥의 네 모서리 조각은 잘려 버려지죠. 버려지는 금박의 넓이는 몇 제곱인치일까요?

주어진 것: 작은 격자는 가로 $6$ 인치, 세로 $7$ 인치 (꼭짓점 좌표 범위 $x \in [0,6]$, $y \in [0,7]$); 작은 연의 꼭짓점: $(3,0),(0,5),(3,7),(6,5)$ — 연의 두 대각선은 격자의 가로·세로와 정확히 같다; 큰 연은 격자의 두 변을 모두 $3$ 배로 늘리므로 큰 격자(=금박) 의 크기는 $3 \times 6 = 18$ 인치 $\times$ $3 \times 7 = 21$ 인치; 버려지는 부분 = 금박 직사각형의 넓이 $-$ 큰 연의 넓이; 선택지: (A) $63$, (B) $72$, (C) $180$, (D) $189$, (E) $264$

구하는 것: 직사각형 금박에서 잘려 버려지는 네 모서리 조각의 총 넓이 (제곱인치)

이해

문제 재정리: 주느비에브의 작은 연은 $6 \times 7$ 점 격자 위에 있고, 꼭짓점은 $(3,0),(0,5),(3,7),(6,5)$ 입니다. 큰 연은 격자의 가로·세로를 모두 $3$ 배로 늘려 만듭니다. 큰 격자를 정확히 덮는 직사각형 모양의 금박에서 연 바깥의 네 모서리 조각은 잘려 버려지죠. 버려지는 금박의 넓이는 몇 제곱인치일까요?

주어진 것: 작은 격자는 가로 $6$ 인치, 세로 $7$ 인치 (꼭짓점 좌표 범위 $x \in [0,6]$, $y \in [0,7]$); 작은 연의 꼭짓점: $(3,0),(0,5),(3,7),(6,5)$ — 연의 두 대각선은 격자의 가로·세로와 정확히 같다; 큰 연은 격자의 두 변을 모두 $3$ 배로 늘리므로 큰 격자(=금박) 의 크기는 $3 \times 6 = 18$ 인치 $\times$ $3 \times 7 = 21$ 인치; 버려지는 부분 = 금박 직사각형의 넓이 $-$ 큰 연의 넓이; 선택지: (A) $63$, (B) $72$, (C) $180$, (D) $189$, (E) $264$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

연 문제는 그림 문제예요. 먼저 $18 \times 21$ 직사각형 안에 연을 스케치합니다(도구 #1). 그림이 나오면 문제는 작은 세 단계로 깔끔하게 갈라져요(도구 #7): (가) 직사각형 넓이, (나) 연의 넓이, (다) 두 값을 빼서 버려지는 부분 구하기. 그림을 그려 보면 지름길도 보이는데, 연의 두 대각선이 직사각형의 가로·세로와 그대로 같아서 연은 정확히 절반을 차지합니다. 먼저 그리고 그다음 계산하는 흐름 덕분에 6학년 "도형 합성·분해" 수준에서 끝나고, 무거운 도구를 꺼낼 필요가 없습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1
  • 큰 격자를 스케치합니다.
  • $6 \times 7$ 작은 격자의 두 변을 $3$ 배로 늘리면 $18 \times 21$ 직사각형이 되고, 금박의 크기도 같으니 먼저 직사각형의 넓이부터 적어 둡니다.
$$\text{금박 넓이} = 18 \times 21 = 378 \text{ in}^2$$

💡 직사각형의 가로 $\times$ 세로 는 6학년 "도형 넓이" 의 출발점입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 2
  • 스케치 위에서 큰 연의 위치를 잡습니다.
  • 작은 연의 꼭짓점 $(3,0),(0,5),(3,7),(6,5)$ 를 $3$ 배 하면 $(9,0),(0,15),(9,21),(18,15)$.
  • 세로 대각선은 $(9,0)$ 에서 $(9,21)$ 까지 — 길이 $21$.
  • 가로 대각선은 $(0,15)$ 에서 $(18,15)$ 까지 — 길이 $18$.
  • 두 대각선이 직사각형의 두 변을 그대로 가로지릅니다.
$$d_1 = 21 \text{ in}, \quad d_2 = 18 \text{ in}$$

💡 좌표에서 길이를 읽는 것은 6학년 "좌표평면 위 다각형" 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 3
  • 작은 문제: 연의 넓이.
  • 수직인 두 대각선 $d_1, d_2$ 를 가진 연의 넓이는 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2$.
  • 위에서 읽은 길이를 그대로 넣습니다.
$$\text{연의 넓이} = \tfrac{1}{2} \times 21 \times 18 = \tfrac{378}{2} = 189 \text{ in}^2$$

💡 대각선 곱의 절반 공식은 연이나 마름모의 넓이를 구하는 7학년 표준 도구입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4
  • 작은 문제: 버려지는 부분은 직사각형에서 연이 덮지 않은 영역 전체입니다.
  • 빼면 끝나죠.
$$\text{버려지는 넓이} = 378 - 189 = 189 \text{ in}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 직사각형 = 연 + 버려지는 부분 으로 영역을 쪼개면 뺄셈 한 번으로 끝납니다.

[1] #1 6.G.A.1 큰 격자를 스케치합니다. $6 \times 7$ 작은 격자의 두 변을 $3$ 배로 늘리면 $18 \times 21$ 직사각형이 되고, 금박의 크
[2] #1 6.G.A.3 스케치 위에서 큰 연의 위치를 잡습니다. 작은 연의 꼭짓점 $(3,0),(0,5),(3,7),(6,5)$ 를 $3$ 배 하면 $(9,0),(0,
[3] #7 7.G.B.6 작은 문제: 연의 넓이. 수직인 두 대각선 $d_1, d_2$ 를 가진 연의 넓이는 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2$. 위에서 읽은 길이
[4] #7 6.G.A.1 작은 문제: 버려지는 부분은 직사각형에서 연이 덮지 않은 영역 전체입니다. 빼면 끝나죠.

검토

합리성 확인: 연의 두 대각선이 $18$ 과 $21$ — 직사각형의 두 변과 정확히 같습니다. 그래서 연의 넓이는 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2 = \tfrac{1}{2} \cdot (\text{직사각형 넓이})$, 즉 직사각형의 정확히 절반이고, 네 모서리 조각도 나머지 절반입니다. $378$ 의 절반은 $189$ 로 답 (D) 와 일치합니다. 다른 각도의 검산도 됩니다. 모든 길이를 $3$ 배 늘리면 넓이는 $9$ 배가 됩니다. 작은 격자 넓이는 $42$ in${}^2$, 작은 연의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21$ in${}^2$, 그러니 작은 버려지는 부분은 $42 - 21 = 21$ in${}^2$. 여기에 $9$ 를 곱하면 $21 \times 9 = 189$ in${}^2$. 서로 독립한 두 풀이가 같은 답을 줍니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기) 로 작은 연부터 풀어 봅니다. 작은 금박 $= 6 \times 7 = 42$ in${}^2$. 작은 연 $= \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21$ in${}^2$. 작은 버려지는 부분 $= 42 - 21 = 21$ in${}^2$. 그다음 크기 조정 규칙: 길이를 $3$ 배 늘리면 넓이는 $3^2 = 9$ 배. 큰 버려지는 부분 $= 21 \times 9 = 189$ in${}^2$, 마찬가지로 (D). 쉬운 경우를 먼저 풀고 곱해 주면 $18 \times 21$ 을 직접 계산할 필요가 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 6.G.A.1 직각삼각형·일반 삼각형·특수 사각형을 직사각형과 삼각형으로 합성·분해하여 넓이 구하기 (금박 직사각형 넓이 $18 \times 21 = 378$ 을 구하고, 직사각형 $=$ 연 $+$ 버려지는 부분 의 분해로 버려지는 넓이를 얻는 데 사용.)
  • 6.G.A.3 꼭짓점 좌표가 주어진 다각형을 좌표평면에 그리고, 좌표로 변의 길이 구하기 (작은 연의 좌표를 $3$ 배 한 뒤 대각선 길이 $21$ 과 $18$ 을 좌표에서 바로 읽는 데 사용.)
  • 7.G.B.6 삼각형·사각형·다각형·정육면체·직각기둥으로 이루어진 도형의 넓이·부피·겉넓이에 관한 실세계·수학 문제 해결 (큰 연에 대해 대각선 곱 공식 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2 = 189$ 을 적용하는 데 사용.)

⭐ $18 \times 21$ 금박 안에 연을 그려 보세요. 연의 두 대각선이 직사각형의 가로·세로와 그대로 같아서 연은 정확히 절반을 차지합니다. 네 모서리 조각도 나머지 절반 — $189$ in${}^2$, 답은 (D).

⭐ $18 \times 21$ 금박 안에 연을 그려 보세요. 연의 두 대각선이 직사각형의 가로·세로와 그대로 같아서 연은 정확히 절반을 차지합니다. 네 모서리 조각도 나머지 절반 — $189$ in${}^2$, 답은 (D).

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