AMC 8 · 2003 · #22

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-rectanglesarea-circlespythagorean-theoremspatial-visualization area-differenceidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

The following figures are composed of squares and circles. Which figure has a shaded region with largest area?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

A only

(B)

B only

(C)

C only

(D)

both A and B

(E)

all are equal

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 그림이 나란히 놓여 있고, 각각 $2$ cm 정사각형과 원으로 이루어져 있습니다. 그림 A는 $2 \times 2$ 정사각형에 반지름 $1$ 인 원이 안에 꼭 맞게 들어가 있고, 그 원 부분만 잘라낸 모양. 그림 B는 같은 $2 \times 2$ 정사각형에 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 인 원 네 개를 잘라낸 모양. 그림 C는 반지름 $1$ 인 원 안에 정사각형이 꼭 맞게 들어가 있고(정사각형의 대각선 = 원의 지름 $2$), 그 정사각형을 잘라낸 모양입니다. 음영 부분의 넓이가 가장 큰 그림은 무엇일까요?

주어진 것: 그림 A: $2 \times 2$ 정사각형에서 반지름 $1$ 의 원 하나를 잘라낸 도형; 그림 B: $2 \times 2$ 정사각형에서 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 의 원 네 개를 잘라낸 도형(각 사분면에 하나씩); 그림 C: 반지름 $1$ 인 원에서 대각선이 지름 $2$ 와 같은 정사각형을 잘라낸 도형; 세 그림 모두 한 변 또는 지름이 $2$ cm; 선택지: (A) A만, (B) B만, (C) C만, (D) A 와 B 둘 다, (E) 모두 같다

구하는 것: 음영 넓이가 가장 큰 그림은 어느 것인지(또는 어느 것들인지)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기

세 그림이 이미 라벨이 붙어 있는 다이어그램이라, 도구 #1(그림 그리기)을 쓰면 각 음영 부분을 "바깥 도형 − 안쪽 도형" 으로 그대로 읽어낼 수 있어요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)는 "어느 게 가장 큰가?" 라는 한 문제를 "A의 음영 구하기 → B의 음영 구하기 → C의 음영 구하기" 의 세 개의 작은 뺄셈 문제로 쪼개 줍니다. 각 넓이를 $a - b\pi$ 또는 $b\pi - a$ 같은 정확한 형태로 두면, 마지막에 한 번만 $\pi$ 의 근삿값을 써서 크기를 비교하면 끝납니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 7.G.B.4 단계 1

그림 A: $2 \times 2$ 정사각형의 넓이는 $2^2 = 4$.
안에 꼭 맞는 원의 반지름은 $1$ 이므로 넓이는 $\pi \cdot 1^2 = \pi$.
음영 부분은 정사각형에서 원을 뺀 것.

$$\text{넓이}_A = 2^2 - \pi \cdot 1^2 = 4 - \pi$$

💡 7학년 원의 넓이 공식 $\pi r^2$ 에 $r = 1$ 을 넣으면 $\pi$. 뺄셈 한 번으로 A의 음영이 정리됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 7.G.B.4 단계 2

그림 B: 같은 $2 \times 2$ 정사각형(넓이 $4$)에서 이번엔 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 의 원 네 개를 잘라냅니다.
작은 원 하나의 넓이는 $\pi \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{\pi}{4}$.
네 개를 더하면 $4 \cdot \tfrac{\pi}{4} = \pi$ — A의 흰 부분과 정확히 같은 양만큼 빠집니다.

$$\text{넓이}_B = 2^2 - 4 \cdot \pi \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 4 - 4 \cdot \tfrac{\pi}{4} = 4 - \pi$$

💡 반지름이 절반이 되면 넓이는 $\tfrac{1}{4}$ 로 줄고, 그런 원이 네 개이므로 "개수의 $4$ 배" 와 "넓이의 $\tfrac{1}{4}$" 가 상쇄됩니다. A와 B의 음영은 같습니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3

그림 C: 반지름 $1$ 인 원에서 정사각형을 잘라냅니다.
원의 지름과 정사각형의 대각선이 같은 $2$ 입니다.
대각선이 $d$ 인 정사각형의 넓이는 $\tfrac{d^2}{2}$ 이므로 안의 정사각형의 넓이는 $\tfrac{2^2}{2} = 2$.
음영은 원에서 정사각형을 뺀 것.

$$\text{넓이}_C = \pi \cdot 1^2 - \tfrac{2^2}{2} = \pi - 2$$

💡 안의 정사각형에 대각선을 그어 보면, 그 정사각형은 빗변이 대각선인 두 개의 직각삼각형으로 쪼개집니다. 대각선 공식 $\tfrac{d_1 d_2}{2}$ 로 넓이가 한 번에 $2$.

#1 그림 그리기 7.NS.A.3 단계 4

세 음영을 비교합니다.
A와 B는 모두 $4 - \pi$, C는 $\pi - 2$.
$\pi \approx 3.14$ 를 쓰면 앞은 $4 - 3.14 = 0.86$, 뒤는 $3.14 - 2 = 1.14$.
따라서 C가 가장 큽니다.

$$4 - \pi \approx 0.86 \;\;<\;\; \pi - 2 \approx 1.14 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $\pi$ 의 근삿값은 마지막 비교에서만 필요합니다. 그림으로 보아도 C에 남는 "얇은 원호 띠" 가 A·B에 남는 "네 모서리 조각" 보다 도톰해 보이고, 부등식은 그 직관과 일치합니다.

[1] #9 7.G.B.4 그림 A: $2 \times 2$ 정사각형의 넓이는 $2^2 = 4$. 안에 꼭 맞는 원의 반지름은 $1$ 이므로 넓이는 $\pi \cdot 1

[2] #9 7.G.B.4 그림 B: 같은 $2 \times 2$ 정사각형(넓이 $4$)에서 이번엔 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 의 원 네 개를 잘라냅니다. 작은 원

[3] #1 6.G.A.1 그림 C: 반지름 $1$ 인 원에서 정사각형을 잘라냅니다. 원의 지름과 정사각형의 대각선이 같은 $2$ 입니다. 대각선이 $d$ 인 정사각형의

[4] #1 7.NS.A.3 세 음영을 비교합니다. A와 B는 모두 $4 - \pi$, C는 $\pi - 2$. $\pi \approx 3.14$ 를 쓰면 앞은 $4 - 3

검토

합리성 확인: 그림으로 다시 확인. A와 B에서 잘라낸 흰 부분의 총 넓이는 둘 다 $\pi$ 입니다(반지름 절반 원 네 개 = 반지름 $1$ 원 하나). 그래서 남는 음영도 똑같이 $4 - \pi$ — 선택지 (A), (B) 가 단독 우승할 수 없다는 것이 바로 보입니다. C에서 잘라낸 정사각형은 외접하는 $2 \times 2$ 정사각형의 절반밖에 안 되므로(넓이 $2$ 대 $4$), 원의 내부 $\pi \approx 3.14$ 에서 $2$ 만 빠지면 약 $1.14$ 가 남아 A·B의 $\approx 0.86$ 보다 큽니다. 정확한 세 넓이 모두와 부합하는 답은 (C) 뿐.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 수치로 적용: 처음부터 $\pi \approx 3.14$ 로 두면 $\text{넓이}_A = \text{넓이}_B \approx 0.86$, $\text{넓이}_C \approx 1.14$. 같은 순위가 바로 나오고, A와 B가 같다는 사실도 한눈에 보입니다 — 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 둘레와 넓이 공식을 알고 이를 문제 해결에 사용하기 (각 원의 넓이를 구하는 데 사용 — A·C의 반지름 $1$ 원은 $\pi$, B의 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 원 하나는 $\tfrac{\pi}{4}$. 이로써 세 그림의 음영을 $\pi$ 에 대한 간단한 식으로 쓸 수 있게 됩니다.)
6.G.A.1 다각형을 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 쪼개어 넓이를 구하기 (C의 안쪽 정사각형 넓이를 대각선으로부터 구하는 데 사용 — 대각선으로 두 직각삼각형으로 쪼개면 넓이가 $\tfrac{d^2}{2} = 2$.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산이 들어간 실생활·수학 문제 풀기 (마지막에 $\pi \approx 3.14$ 를 써서 $4 - \pi$ 와 $\pi - 2$ 를 비교하고 가장 큰 음영을 정하는 데 사용.)

⭐ 그림은 눈으로 비교하지 말고 "바깥 − 안쪽" 으로 식을 세워 보세요. A와 B는 둘 다 $4 - \pi$, C는 $\pi - 2$ 만큼 남습니다. $\pi - 2$ 가 $4 - \pi$ 보다 크니까 정답은 그림 C.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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