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AMC 8 · 2003 · #8

학년 6 geometry-2d
유형 Small-Domain Constrained Search
area-rectanglesarea-trianglesratio-proportionsystematic-enumeration systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglesmulti-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Problems 8, 9 and 10 use the data found in the accompanying paragraph and figures

Four friends, Art, Roger, Paul and Trisha, bake cookies, and all cookies have the same thickness. The shapes of the cookies differ, as shown.

∘\circ Art's cookies are trapezoids.

∘\circ Roger's cookies are rectangles.

∘\circ Paul's cookies are parallelograms.

∘\circ Trisha's cookies are triangles.

Each friend uses the same amount of dough, and Art makes exactly 12 cookies. Who gets the fewest cookies from one batch of cookie dough?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
Art
(B)
Roger
(C)
Paul
(D)
Trisha
(E)
There is a tie for fewest.
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 친구가 같은 양의 반죽으로 같은 두께의 쿠키를 굽습니다. 아트(Art)의 쿠키는 평행한 변이 $3$ in 와 $5$ in 이고 높이가 $3$ in 인 사다리꼴, 로저(Roger)의 쿠키는 $4 \times 2$ 직사각형, 폴(Paul)의 쿠키는 밑변 $3$ in, 높이 $2$ in 인 평행사변형, 트리샤(Trisha)의 쿠키는 두 변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형입니다. 아트가 정확히 $12$ 개를 만들 때, 가장 적게 만드는 친구는 누구일까요?

주어진 것: 아트의 쿠키: 평행한 변이 $3$ in 와 $5$ in, 높이 $3$ in 인 사다리꼴; 로저의 쿠키: $4$ in $\times\ 2$ in 직사각형; 폴의 쿠키: 밑변 $3$ in, 높이 $2$ in 인 평행사변형; 트리샤의 쿠키: 두 변이 $3$ in 와 $4$ in 인 직각삼각형; 모든 쿠키는 두께가 같고, 각자 같은 양의 반죽을 쓴다; 아트는 $12$ 개를 만든다; 선택지: (A) 아트, (B) 로저, (C) 폴, (D) 트리샤, (E) 가장 적은 사람이 동률

구하는 것: 한 회 반죽으로 가장 적은 수의 쿠키를 굽는 친구

이해

문제 재정리: 네 친구가 같은 양의 반죽으로 같은 두께의 쿠키를 굽습니다. 아트(Art)의 쿠키는 평행한 변이 $3$ in 와 $5$ in 이고 높이가 $3$ in 인 사다리꼴, 로저(Roger)의 쿠키는 $4 \times 2$ 직사각형, 폴(Paul)의 쿠키는 밑변 $3$ in, 높이 $2$ in 인 평행사변형, 트리샤(Trisha)의 쿠키는 두 변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형입니다. 아트가 정확히 $12$ 개를 만들 때, 가장 적게 만드는 친구는 누구일까요?

주어진 것: 아트의 쿠키: 평행한 변이 $3$ in 와 $5$ in, 높이 $3$ in 인 사다리꼴; 로저의 쿠키: $4$ in $\times\ 2$ in 직사각형; 폴의 쿠키: 밑변 $3$ in, 높이 $2$ in 인 평행사변형; 트리샤의 쿠키: 두 변이 $3$ in 와 $4$ in 인 직각삼각형; 모든 쿠키는 두께가 같고, 각자 같은 양의 반죽을 쓴다; 아트는 $12$ 개를 만든다; 선택지: (A) 아트, (B) 로저, (C) 폴, (D) 트리샤, (E) 가장 적은 사람이 동률

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

그림은 이미 주어져 있으니 도구 #1(그림 그리기)은 각 쿠키 모양을 읽고 알맞은 넓이 공식으로 계산하는 것을 뜻합니다. 핵심 아이디어는 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 모두가 같은 양의 반죽을 같은 두께로 쓰니까 친구별 총 윗면 넓이는 같은 값으로 고정됩니다. 그래서 쿠키 개수는 한 개의 넓이에 반비례하고, 한 개가 가장 큰 친구가 가장 적은 개수를 만듭니다. 결국 "누가 가장 적게 만드나?" 는 "누구의 쿠키 한 개가 가장 큰가?" 와 같은 질문이 됩니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1
  • 아트의 쿠키 넓이를 구합니다.
  • 평행한 두 변이 $3$ in, $5$ in 이고 높이가 $3$ in 인 사다리꼴입니다.
  • 사다리꼴 넓이 공식: 평행한 두 변의 합의 절반에 높이를 곱합니다.
$$A_{\text{Art}} = \dfrac{3 + 5}{2} \times 3 = 4 \times 3 = 12 \text{ in}^2$$

💡 6학년 사다리꼴 넓이: 평행한 두 변의 평균에 높이를 곱합니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 2
  • 로저의 쿠키 넓이를 구합니다.
  • $4$ in $\times$ $2$ in 직사각형입니다.
$$A_{\text{Roger}} = 4 \times 2 = 8 \text{ in}^2$$

💡 6학년 직사각형 넓이: 가로 곱하기 세로.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3
  • 폴의 쿠키 넓이를 구합니다.
  • 밑변이 $3$ in, 높이가 $2$ in 인 평행사변형이며, 그림의 점선이 수직 높이를 나타냅니다.
$$A_{\text{Paul}} = 3 \times 2 = 6 \text{ in}^2$$

💡 6학년 평행사변형 넓이: 밑변 곱하기 수직 높이.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 4
  • 트리샤의 쿠키 넓이를 구합니다.
  • 두 직각변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형이므로 두 변이 그대로 밑변과 높이가 됩니다.
$$A_{\text{Trisha}} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ in}^2$$

💡 6학년 직각삼각형 넓이: 밑변 곱하기 높이의 절반.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.RP.A.3 단계 5
  • 불변량을 사용합니다.
  • 같은 반죽, 같은 두께이므로 친구별 총 윗면 넓이는 같습니다.
  • 따라서 쿠키 개수는 한 개의 넓이에 반비례하고, 한 개가 가장 큰 친구가 가장 적게 만듭니다.
  • 비교: $12 > 8 > 6 = 6$.
$$12 > 8 > 6 = 6 \;\Rightarrow\; \text{아트의 쿠키가 가장 크다} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 같은 총넓이를 크기 $a$ 의 쿠키들로 나누면 개수는 (총넓이)$/a$. $a$ 가 클수록 개수는 작아집니다.

[1] #1 6.G.A.1 아트의 쿠키 넓이를 구합니다. 평행한 두 변이 $3$ in, $5$ in 이고 높이가 $3$ in 인 사다리꼴입니다. 사다리꼴 넓이 공식: 평행
[2] #1 6.G.A.1 로저의 쿠키 넓이를 구합니다. $4$ in $\times$ $2$ in 직사각형입니다.
[3] #1 6.G.A.1 폴의 쿠키 넓이를 구합니다. 밑변이 $3$ in, 높이가 $2$ in 인 평행사변형이며, 그림의 점선이 수직 높이를 나타냅니다.
[4] #1 6.G.A.1 트리샤의 쿠키 넓이를 구합니다. 두 직각변이 $3$ in, $4$ in 인 직각삼각형이므로 두 변이 그대로 밑변과 높이가 됩니다.
[5] #11 6.RP.A.3 불변량을 사용합니다. 같은 반죽, 같은 두께이므로 친구별 총 윗면 넓이는 같습니다. 따라서 쿠키 개수는 한 개의 넓이에 반비례하고, 한 개가 가

검토

합리성 확인: 고정된 총넓이를 구해 봅시다. 아트는 $12$ 개를 만들고 한 개의 넓이가 $12$ in$^2$ 이므로 한 회 반죽의 총 윗면 넓이는 $12 \times 12 = 144$ in$^2$. 그러면 로저는 $144 / 8 = 18$ 개, 폴은 $144 / 6 = 24$ 개, 트리샤도 $144 / 6 = 24$ 개를 만듭니다. 개수는 $12, 18, 24, 24$ 로 아트가 가장 적어 (A) 와 일치합니다. (E) 동률 답은 함정입니다 — 폴과 트리샤가 동률이긴 하지만, 가장 적은 쪽이 아니라 가장 많은 쪽에서 동률입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측과 확인)을 선택지에 적용: "누가 가장 적게 만드나" 는 "한 개가 가장 큰 쿠키는 누구의 것인가" 와 같으니, 식 없이 네 그림을 눈으로 비교합니다. 아트의 사다리꼴이 다른 셋보다 확실히 커 보이고, 폴의 평행사변형과 트리샤의 삼각형은 비슷해 보입니다. 아트의 넓이($12$)와 다른 한 개(예: 로저의 $8$)만 계산해 확인하면 아트가 제일 크므로 아트가 가장 적게 만듭니다. 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 6.G.A.1 직각삼각형, 일반 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 나누어 구하기 (쿠키 한 개의 넓이를 각각 계산: 사다리꼴 $12$, 직사각형 $8$, 평행사변형 $6$, 직각삼각형 $6$.)
  • 6.RP.A.3 비와 비율을 이용해 실세계 문제와 수학 문제 해결하기 ("같은 총 반죽, 같은 두께" 를 "총 윗면 넓이가 일정" 으로 읽어내고, 쿠키 개수가 한 개의 넓이에 반비례함을 적용 — 한 개가 가장 클수록 개수가 가장 적습니다.)

⭐ 모두 같은 양의 반죽을 같은 두께로 쓸 때, 쿠키 개수가 적다는 건 한 개가 크다는 뜻입니다. 6학년 다각형 넓이 공식으로 각 모양의 넓이를 구하고, 그 중 가장 큰 쿠키의 주인이 가장 적게 만드는 사람입니다.

⭐ 모두 같은 양의 반죽을 같은 두께로 쓸 때, 쿠키 개수가 적다는 건 한 개가 크다는 뜻입니다. 6학년 다각형 넓이 공식으로 각 모양의 넓이를 구하고, 그 중 가장 큰 쿠키의 주인이 가장 적게 만드는 사람입니다.

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