AMC 8 · 2004 · #11

학년 6 counting

logical-deductionmean-median-mode-rangesystematic-enumerationcasework caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationmean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The numbers $-2, 4, 6, 9$ and $12$ are rearranged according to these rules:

    1. The largest isn't first, but it is in one of the first three places. 
    2. The smallest isn't last, but it is in one of the last three places. 
    3. The median isn't first or last.

What is the average of the first and last numbers?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.5

(B)

(C)

6.5

(D)

7.5

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수 $-2, 4, 6, 9, 12$ 를 다섯 자리에 한 줄로 늘어놓습니다. 단, (1) 가장 큰 수는 첫 자리에 오지 않지만 첫 세 자리 중 하나에 있고, (2) 가장 작은 수는 마지막 자리에 오지 않지만 마지막 세 자리 중 하나에 있으며, (3) 중앙값은 첫 자리도 마지막 자리도 아닙니다. 첫 자리와 마지막 자리에 놓인 두 수의 평균을 구하세요.

주어진 것: 배열할 다섯 수: $-2, 4, 6, 9, 12$; 규칙 1: 가장 큰 수 ($12$) 는 $1$ 번 자리가 아니지만 $1, 2, 3$ 번 자리 중 하나; 규칙 2: 가장 작은 수 ($-2$) 는 $5$ 번 자리가 아니지만 $3, 4, 5$ 번 자리 중 하나; 규칙 3: 중앙값 ($6$) 은 $1$ 번도 $5$ 번도 아님; 선택지: (A) $3.5$, (B) $5$, (C) $6.5$, (D) $7.5$, (E) $8$

구하는 것: $1$ 번 자리와 $5$ 번 자리 수의 평균

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 똑똑하게 세기

세 규칙이 서로 다른 세 수의 위치를 각각 제약합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 규칙을 한 개씩 처리한 뒤 결과를 합치는 것이 가장 깔끔합니다. 세 핵심 수 ($12$, $-2$, $6$) 의 가능한 자리가 모두 $\{2,3,4\}$ 로 좁혀지면, 도구 #13(똑똑하게 세기)이 마무리를 합니다. 서로 다른 세 수가 세 개의 가운데 자리를 모두 차지하므로, 남은 두 수 ($4$ 와 $9$) 가 $1$ 번 자리와 $5$ 번 자리를 차지하게 됩니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1

세 개의 특별한 수를 먼저 찾습니다.
$-2, 4, 6, 9, 12$ 를 정렬하면 최댓값은 $12$, 최솟값은 $-2$, 중앙값은 $6$.
나머지 두 수 $4$ 와 $9$ 는 어떤 규칙에도 직접 묶이지 않습니다.

$$\text{최댓값}=12,\ \ \text{최솟값}=-2,\ \ \text{중앙값}=6,\ \ \text{제약 없음}: 4, 9$$

💡 6학년 "중심 측도" 개념으로 최댓값·최솟값·중앙값을 먼저 이름 붙이면 각 규칙이 "한 수의 위치 조건"으로 단순해집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 2

규칙 1을 최댓값에 적용합니다.
$12$ 는 $1, 2, 3$ 번 자리 중 하나이지만 $1$ 번은 아니므로, $12$ 는 $2$ 번 또는 $3$ 번 자리.

$$12\text{의 자리} \in \{1,2,3\} \cap \{2,3,4,5\} = \{2, 3\}$$

💡 한 변수에 대한 두 조건은 "허용 집합의 교집합"으로 바뀝니다. 이는 6학년 "식을 참으로 만드는 값 고르기"의 기본 패턴입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 3

규칙 2를 최솟값에 적용합니다.
$-2$ 는 $3, 4, 5$ 번 자리 중 하나이지만 $5$ 번은 아니므로, $-2$ 는 $3$ 번 또는 $4$ 번 자리.

$$-2\text{의 자리} \in \{3,4,5\} \cap \{1,2,3,4\} = \{3, 4\}$$

💡 같은 교집합 아이디어 — "마지막 셋 중 하나" 와 "마지막 아님" 을 합치면 자리는 $3$ 번과 $4$ 번 뿐.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 4

규칙 3을 중앙값에 적용합니다.
$6$ 은 $1$ 번도 $5$ 번도 아니므로, $6$ 은 $2, 3, 4$ 번 자리 중 하나.

$$6\text{의 자리} \in \{1,2,3,4,5\} \setminus \{1,5\} = \{2, 3, 4\}$$

💡 "첫 자리도 마지막 자리도 아님" 은 그저 양 끝 두 자리를 후보에서 빼는 일.

#13 똑똑하게 세기 6.EE.B.5 단계 5

세 제약 수가 사용하는 자리를 셉니다.
$12$, $-2$, $6$ 의 가능한 자리는 모두 가운데 세 자리 $\{2,3,4\}$ 안에 들어갑니다.
서로 다른 세 수가 세 자리에 들어가면, $2$ 번·$3$ 번·$4$ 번 자리는 어떤 순서로든 정확히 $\{-2, 6, 12\}$ 가 차지합니다.

$$\{12, -2, 6\text{의 자리}\} = \{2,3,4\}$$

💡 세 물건을 세 상자에 넣으면 모든 상자가 꽉 찹니다(비둘기집 식 세기). 가운데 자리는 다 채워졌으니 양 끝에는 남은 수만 갑니다.

#13 똑똑하게 세기 6.SP.B.5 단계 6

양 끝 자리의 수를 알아낸 뒤 평균을 구합니다.
$2, 3, 4$ 번 자리가 다 차 있으므로 $1$ 번과 $5$ 번에 남는 수는 $4$ 와 $9$ 뿐.
두 수의 합을 $2$ 로 나누면 평균이 나옵니다.

$$\text{평균} = \dfrac{4 + 9}{2} = \dfrac{13}{2} = 6.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 양 끝이 $\{4, 9\}$ 로 확정되면 남는 일은 6학년 수준의 단순 평균 계산입니다.

[1] #7 6.SP.B.5 세 개의 특별한 수를 먼저 찾습니다. $-2, 4, 6, 9, 12$ 를 정렬하면 최댓값은 $12$, 최솟값은 $-2$, 중앙값은 $6$. 나머

[2] #7 6.EE.B.5 규칙 1을 최댓값에 적용합니다. $12$ 는 $1, 2, 3$ 번 자리 중 하나이지만 $1$ 번은 아니므로, $12$ 는 $2$ 번 또는 $3$

[3] #7 6.EE.B.5 규칙 2를 최솟값에 적용합니다. $-2$ 는 $3, 4, 5$ 번 자리 중 하나이지만 $5$ 번은 아니므로, $-2$ 는 $3$ 번 또는 $4$

[4] #7 6.EE.B.5 규칙 3을 중앙값에 적용합니다. $6$ 은 $1$ 번도 $5$ 번도 아니므로, $6$ 은 $2, 3, 4$ 번 자리 중 하나.

[5] #13 6.EE.B.5 세 제약 수가 사용하는 자리를 셉니다. $12$, $-2$, $6$ 의 가능한 자리는 모두 가운데 세 자리 $\{2,3,4\}$ 안에 들어갑니다

[6] #13 6.SP.B.5 양 끝 자리의 수를 알아낸 뒤 평균을 구합니다. $2, 3, 4$ 번 자리가 다 차 있으므로 $1$ 번과 $5$ 번에 남는 수는 $4$ 와 $9

검토

합리성 확인: 조건을 만족하는 한 가지 배열을 직접 확인해 봅시다. $4,\ 12,\ -2,\ 6,\ 9$: $1$ 번 자리가 $12$ 가 아니고 (좋음), $12$ 는 $2$ 번 자리에 있어 첫 세 자리 안 (좋음); $-2$ 는 $3$ 번 자리에 있어 마지막 세 자리 안이며 마지막은 아님 (좋음); $6$ 은 $4$ 번 자리에 있어 첫 자리도 마지막 자리도 아님 (좋음). 모든 규칙이 만족되고, 첫 자리와 마지막 자리는 $4$ 와 $9$ 이며 평균은 $6.5$. 답 (C) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #14(극단의 경우 살피기): 규칙들이 언급하는 수는 최댓값·최솟값·중앙값뿐입니다. 그러므로 $4$ 와 $9$ 는 개별 제약이 전혀 없고, 제약 수들이 가운데 자리들에 몰린 이상 $1$ 번과 $5$ 번 자리에 갈 수 있는 수는 오직 $4$ 와 $9$ 뿐입니다. 평균 $(4+9)/2 = 6.5$ 만으로 (C) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 수치 자료를 요약하고 중앙값 등 중심 측도를 보고하기 ($\{-2,4,6,9,12\}$ 의 최솟값·최댓값·중앙값을 파악하고, 마지막 단계에서 $(4+9)/2 = 6.5$ 의 평균을 계산.)
6.EE.B.5 식·부등식을 푼다는 것을 어떤 값이 식을 참으로 만드는지 따지는 과정으로 이해하기 (각 규칙을 자리에 대한 조건으로 보고, $12$, $-2$, $6$ 의 허용 자리들을 교집합으로 좁히는 데 사용.)

⭐ 여러 규칙이 동시에 주어지면 한 규칙씩 풀어가세요. 규칙마다 한 수가 갈 자리를 좁혀 주고, 세 수가 가운데 세 자리에 모두 묶이면 양 끝은 저절로 결정됩니다 — 평균은 그 다음 한 줄로 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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