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AMC 8 · 2004 · #16

학년 5 rate-ratio
유형 Arithmetic Expression Decomposition
fraction-arithmeticfraction-multiplicationratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제

Two 600600 mL pitchers contain orange juice. One pitcher is 1/31/3 full and the other pitcher is 2/52/5 full. Water is added to fill each pitcher completely, then both pitchers are poured into one large container. What fraction of the mixture in the large container is orange juice?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
rac18
(B)
$\frac{3}{16}$
(C)
$\frac{11}{30}$
(D)
$\frac{11}{19}$
(E)
$\frac{11}{15}$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $600$ mL 짜리 주전자 두 개에 오렌지 주스가 들어 있습니다. 한 주전자는 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 만큼, 다른 주전자는 $\tfrac{2}{5}$ 만큼 채워져 있습니다. 두 주전자에 물을 부어 가득 채운 뒤 큰 통 하나에 모두 부었습니다. 큰 통의 혼합물에서 오렌지 주스가 차지하는 비율은 얼마인가요?

주어진 것: 각 주전자의 용량은 $600$ mL; 주전자 1은 오렌지 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 채워져 있음; 주전자 2는 오렌지 주스로 $\tfrac{2}{5}$ 채워져 있음; 각 주전자에 물을 부어 가득 채운 뒤 둘 다 큰 통에 부음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{3}{16}$, (C) $\tfrac{11}{30}$, (D) $\tfrac{11}{19}$, (E) $\tfrac{11}{15}$

구하는 것: 큰 통 안 혼합물에서 오렌지 주스가 차지하는 비율(분수)

이해

문제 재정리: $600$ mL 짜리 주전자 두 개에 오렌지 주스가 들어 있습니다. 한 주전자는 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 만큼, 다른 주전자는 $\tfrac{2}{5}$ 만큼 채워져 있습니다. 두 주전자에 물을 부어 가득 채운 뒤 큰 통 하나에 모두 부었습니다. 큰 통의 혼합물에서 오렌지 주스가 차지하는 비율은 얼마인가요?

주어진 것: 각 주전자의 용량은 $600$ mL; 주전자 1은 오렌지 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 채워져 있음; 주전자 2는 오렌지 주스로 $\tfrac{2}{5}$ 채워져 있음; 각 주전자에 물을 부어 가득 채운 뒤 둘 다 큰 통에 부음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{3}{16}$, (C) $\tfrac{11}{30}$, (D) $\tfrac{11}{19}$, (E) $\tfrac{11}{15}$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #4 변수 도입하기

구해야 하는 건 분수 하나지만, 그 분수를 쓰려면 두 가지를 따로 알아야 해요 — 큰 통에 들어간 주스의 양, 그리고 큰 통에 들어간 액체의 전체 양. 도구 #7(작은 문제로 나누기)은 이 두 계산을 나란히 분리해 줍니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 보조 역할인데, 두 주전자의 용량이 모두 $600$ mL 라는 점을 그대로 두고 주스 양을 직접 더할 수 있게 해줍니다. 두 합이 나오면 마지막은 나눗셈 한 번과 약분 한 번이면 끝납니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 나누기 5.NF.B.4 단계 1
  • 작은 문제 1: 첫 번째 주전자의 주스 양.
  • "전체의 어떤 분수만큼"은 곱셈을 뜻합니다.
  • 첫 주전자는 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 채워져 있으니 $600$ mL 의 $\tfrac{1}{3}$ 만큼 들어 있어요.
$$\text{OJ}_1 = \dfrac{1}{3} \times 600 = 200 \text{ mL}$$

💡 5학년 "전체의 분수만큼 구하기" — $600$ 을 $3$ 등분해서 한 조각을 가져오는 것.

#7 작은 문제로 나누기 5.NF.B.4 단계 2
  • 작은 문제 2: 두 번째 주전자의 주스 양.
  • 같은 방식, 이번에는 $600$ mL 의 $\tfrac{2}{5}$ 입니다.
$$\text{OJ}_2 = \dfrac{2}{5} \times 600 = \dfrac{1200}{5} = 240 \text{ mL}$$

💡 $600$ 을 $5$ 등분하면 한 조각이 $120$ mL, 그 중 두 조각을 가져옵니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.NBT.B.4 단계 3
  • 작은 문제 3: 큰 통의 주스 총량.
  • 두 주전자의 주스를 한 통에 부으면 두 양이 그냥 더해집니다.
$$\text{OJ}_{\text{total}} = 200 + 240 = 440 \text{ mL}$$

💡 내용물을 합치는 건 자연수 덧셈.

#7 작은 문제로 나누기 4.NBT.B.4 단계 4
  • 작은 문제 4: 큰 통의 혼합물 총 부피.
  • 각 주전자는 물로 가득 채워졌으니 $600$ mL 전부가 큰 통에 들어갑니다.
$$V_{\text{total}} = 600 + 600 = 1200 \text{ mL}$$

💡 주스가 차지하지 않은 자리를 물이 채우니, 각 주전자는 꽉 찬 $600$ mL 그대로 부어집니다.

#4 변수 도입하기 5.NF.B.3 단계 5
  • 작은 문제들을 합칩니다.
  • 혼합물 중 주스 비율은 주스 부피를 총 부피로 나눈 것입니다.
  • 공약수로 약분해서 기약분수까지 줄입니다.
$$\dfrac{\text{OJ}_{\text{total}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{440}{1200} = \dfrac{44}{120} = \dfrac{11}{30} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 5학년 "분수를 나눗셈으로 보기": 혼합물 $1200$ 중 주스가 $440$, $10$ 으로 약분 후 $4$ 로 한 번 더 약분해서 $\tfrac{11}{30}$.

[1] #7 5.NF.B.4 작은 문제 1: 첫 번째 주전자의 주스 양. "전체의 어떤 분수만큼"은 곱셈을 뜻합니다. 첫 주전자는 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 채워져
[2] #7 5.NF.B.4 작은 문제 2: 두 번째 주전자의 주스 양. 같은 방식, 이번에는 $600$ mL 의 $\tfrac{2}{5}$ 입니다.
[3] #7 4.NBT.B.4 작은 문제 3: 큰 통의 주스 총량. 두 주전자의 주스를 한 통에 부으면 두 양이 그냥 더해집니다.
[4] #7 4.NBT.B.4 작은 문제 4: 큰 통의 혼합물 총 부피. 각 주전자는 물로 가득 채워졌으니 $600$ mL 전부가 큰 통에 들어갑니다.
[5] #4 5.NF.B.3 작은 문제들을 합칩니다. 혼합물 중 주스 비율은 주스 부피를 총 부피로 나눈 것입니다. 공약수로 약분해서 기약분수까지 줄입니다.

검토

합리성 확인: 범위 점검: 두 주전자 모두 주스 비율이 절반 미만($\tfrac{1}{3}$, $\tfrac{2}{5}$ 둘 다 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작음)이므로 합쳐도 절반 미만이어야 합니다. 답 $\tfrac{11}{30} \approx 0.367$ 은 $\tfrac{1}{3}$ 과 $\tfrac{2}{5}$ 사이에 정확히 자리 잡고 있어요 — 용량이 같은 두 주전자의 평균이 와야 할 자리입니다. 선택지 (D) $\tfrac{11}{19} \approx 0.58$ 와 (E) $\tfrac{11}{15} \approx 0.73$ 은 둘 다 $\tfrac{1}{2}$ 보다 크므로 곧바로 제외.

대안 접근: 도구 #16(형태 바꾸기): 두 주전자의 용량이 같으므로, 혼합물의 주스 비율은 두 주스 비율의 평균입니다. $\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{5}\right) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{5 + 6}{15} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{11}{15} = \tfrac{11}{30}$. mL 단위 없이 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

  • 5.NF.B.4 분수에 자연수 곱하기로 곱셈 개념 확장 (각 주전자의 주스 부피를 $600$ mL 의 분수만큼으로 계산: $\tfrac{1}{3} \times 600 = 200$, $\tfrac{2}{5} \times 600 = 240$.)
  • 4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행 (두 주스 부피의 합($200 + 240 = 440$)과 두 주전자 부피의 합($600 + 600 = 1200$) 계산.)
  • 5.NF.B.3 분수를 분자÷분모의 나눗셈으로 해석 (최종 분수 $\tfrac{440}{1200}$ 을 만들고 기약분수 $\tfrac{11}{30}$ 로 줄이는 데 사용.)

⭐ 두 가지 작은 질문을 먼저 풀어 보세요 — 주스 양과 전체 액체 양. 그런 다음 하나를 다른 하나 위에 두고 약분하면 끝이에요.

⭐ 두 가지 작은 질문을 먼저 풀어 보세요 — 주스 양과 전체 액체 양. 그런 다음 하나를 다른 하나 위에 두고 약분하면 끝이에요.

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