AMC 8 · 2004 · #17
학년 4 counting문제
Three friends have a total of identical pencils, and each one has at least one pencil. In how many ways can this happen?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 친구가 똑같은 연필 $6$ 자루를 나누어 가지려고 합니다. 단, 각자 적어도 한 자루는 가져야 해요. 나누는 방법은 모두 몇 가지일까요?
주어진 것: 똑같은 연필이 모두 $6$ 자루; 친구는 모두 $3$ 명 (서로 다른 사람); 각 친구가 최소 $1$ 자루는 받아야 한다; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $6$, (D) $10$, (E) $12$
구하는 것: $x_1 + x_2 + x_3 = 6$ 이고 각 $x_i \ge 1$ 인 분배 $(x_1, x_2, x_3)$ 의 가짓수
이해
문제 재정리: 세 친구가 똑같은 연필 $6$ 자루를 나누어 가지려고 합니다. 단, 각자 적어도 한 자루는 가져야 해요. 나누는 방법은 모두 몇 가지일까요?
주어진 것: 똑같은 연필이 모두 $6$ 자루; 친구는 모두 $3$ 명 (서로 다른 사람); 각 친구가 최소 $1$ 자루는 받아야 한다; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $6$, (D) $10$, (E) $12$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제 풀기
연필이 $6$ 자루, 친구가 $3$ 명뿐이라 "$6$ 을 세 개의 양의 정수로 쪼개는 방법" 은 손으로 직접 나열할 수 있어요. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 주도구. 큰 수부터 차례로 적으면 빠뜨림 없이 모든 분할이 잡힙니다. 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기)는 그 부담을 더 줄여 줘요 — 처음부터 순서가 있는 모든 $(x_1, x_2, x_3)$ 를 나열하지 말고, 먼저 순서 없는 분할만 찾은 다음 각 분할의 배치 수를 따로 세는 거예요. 이 작은 문제에 대수(도구 #13) 까지 갈 필요가 없어요.
실행 — 정답: D
4.OA.B.4 단계 1 - $6$ 을 세 양의 정수로 쪼개는 방법(순서 무시)을 모두 나열합니다.
- 가장 큰 부분부터 큰 순서로 적으면 같은 분할을 두 번 적지 않아요.
💡 4학년 "약수·분할" 사고법 그대로입니다. 큰 수부터 적는 정리법을 쓰면 분할은 정확히 세 가지뿐임이 한눈에 보여요.
4.OA.A.3 단계 2 - 각 분할마다 친구 세 명에게 자리를 배정하는 방법을 셉니다.
- 친구는 서로 다른 사람이므로 같은 수가 들어 있는 자리는 한 묶음으로 처리해요.
- 작은 표로 정리합니다.
💡 $(4,1,1)$ 은 $4$ 를 누구에게 줄지만 정하면 되니 $3$ 가지. $(3,2,1)$ 은 세 수가 모두 다르니 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 가지. $(2,2,2)$ 는 누가 받든 똑같으니 $1$ 가지.
4.OA.A.3 단계 3 각 분할의 배치 수를 모두 더하면 전체 방법의 수가 됩니다.
💡 분할이 다르거나, 같은 분할이라도 누구에게 어떤 수가 가느냐가 다르면 모두 다른 방법이므로 그냥 더하면 빠짐도 겹침도 없어요.
4.OA.B.4 $6$ 을 세 양의 정수로 쪼개는 방법(순서 무시)을 모두 나열합니다. 가장 큰 부분부터 큰 순서로 적으면 같은 분할을 두 번 적지 않아요. 4.OA.A.3 각 분할마다 친구 세 명에게 자리를 배정하는 방법을 셉니다. 친구는 서로 다른 사람이므로 같은 수가 들어 있는 자리는 한 묶음으로 처리해요. 작 4.OA.A.3 각 분할의 배치 수를 모두 더하면 전체 방법의 수가 됩니다. 검토
합리성 확인: $10$ 가지 순서쌍을 직접 적어 확인해 봅니다. $(4,1,1)$ 에서: $(4,1,1), (1,4,1), (1,1,4)$ — $3$ 가지. $(3,2,1)$ 에서: $(3,2,1), (3,1,2), (2,3,1), (2,1,3), (1,3,2), (1,2,3)$ — $6$ 가지. $(2,2,2)$ 는 $(2,2,2)$ 한 가지. 합 $3 + 6 + 1 = 10$ 으로 (D) 와 일치합니다. 오답 점검: (A) $1$ 은 $(2,2,2)$ 만 세고 친구가 서로 다르다는 사실을 놓친 답, (B) $3$ 은 $(4,1,1)$ 만 센 답, (C) $6$ 은 $(3,2,1)$ 만 센 답, (E) $12$ 는 $(4,1,1)$ 을 $6$ 가지로 잘못 세어 $6+6=12$ 가 나온 답입니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기) — 미리 한 자루씩 나눠 주기: "각자 최소 한 자루" 조건을 처음부터 만족시키려고 세 친구에게 한 자루씩 먼저 줍니다. 그러면 남은 연필은 $6 - 3 = 3$ 자루, 이번엔 $0$ 자루를 받아도 돼요. 더 쉬운 문제 "$3$ 자루를 $3$ 명에게 자유롭게 나누기" 로 바뀌었어요. 분할별 배치 수는 $(3,0,0)\!:3$, $(2,1,0)\!:6$, $(1,1,1)\!:1$ 로 합 $3+6+1=10$, 같은 답 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (각 분할의 배치 수를 곱셈·덧셈으로 계산하고 ($(4,1,1)\!:3$, $(3,2,1)\!:6$, $(2,2,2)\!:1$), 그 합 $3 + 6 + 1 = 10$ 을 구하는 데 사용.)4.OA.B.4$1$ 부터 $100$ 까지 수의 모든 약수쌍 찾기; 자연수가 각 약수의 배수임을 이해하기 ($6$ 을 세 양의 정수로 쪼개는 분할 $(4,1,1), (3,2,1), (2,2,2)$ 를 "큰 수부터" 정리법으로 빠짐없이 나열하는 데 사용 — 약수쌍을 빠짐없이 찾을 때와 같은 정리 습관입니다.)
⭐ "몇 가지 방법인가" 문제는 먼저 순서를 무시한 분할을 적고, 그다음 각 분할의 자리 배치 수만 세어요 — $3 + 6 + 1 = 10$ 가지.
⭐ "몇 가지 방법인가" 문제는 먼저 순서를 무시한 분할을 적고, 그다음 각 분할의 자리 배치 수만 세어요 — $3 + 6 + 1 = 10$ 가지.