AMC 8 · 2004 · #22

학년 7 probability

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

ratio-proportionprobability-basicfraction-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

At a party there are only single women and married men with their wives. The probability that a randomly selected woman is single is $\frac25$ . What fraction of the people in the room are married men?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

rac13

(B)

rac38

(C)

rac25

(D)

$\frac{5}{12}$

(E)

rac35

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 파티에 있는 사람은 미혼 여성, 그리고 부인과 함께 온 기혼 남성뿐입니다. 여성 한 명을 무작위로 뽑았을 때 그 사람이 미혼일 확률이 $\tfrac{2}{5}$ 입니다. 방 안 전체 사람 중 기혼 남성의 비율은 얼마인가요?

주어진 것: 파티에 있는 사람은 모두 미혼 여성, 기혼 여성(부인), 그 부인의 남편(기혼 남성) 중 하나이다; 기혼 남성은 모두 자기 부인과 함께 왔으므로 $\#\text{기혼 남성} = \#\text{부인}$; $P(\text{무작위로 뽑은 여성이 미혼}) = \dfrac{2}{5}$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{3}$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{2}{5}$, (D) $\tfrac{5}{12}$, (E) $\tfrac{3}{5}$

구하는 것: 비율 $\dfrac{\#\text{기혼 남성}}{\#\text{방 안 전체 사람}}$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #9 간단한 경우 시도하기 (WLOG)

문제는 실제 인원수를 모두 숨기고 비율만 던져 줍니다. 그래서 첫 수는 도구 #4(변수 도입하기) — 세 그룹에 이름을 붙여 말을 식으로 바꾸는 거예요. 두 개의 관계가 바로 따라 나옵니다. "기혼 남성은 부인과 함께 온다"는 $M = W$ 를 주고, 확률 $\tfrac{2}{5}$ 는 $\tfrac{S}{S+W} = \tfrac{2}{5}$ 를 줍니다. 식 두 개에 미지수 세 개니까 한 문자로 모두 표현해 답 비율을 읽어내면 됩니다. 도구 #9(간단한 경우 시도하기)는 자연스러운 대체 — $\tfrac{2}{5}$ 에 맞는 구체적 인원수를 골라 그냥 세어 봐도 같은 답이 나옵니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

세 그룹에 이름을 붙입니다.
$S$ = 미혼 여성 수, $W$ = 부인(기혼 여성) 수, $M$ = 기혼 남성 수.
이 셋이 방 안 모든 사람을 빠짐없이 덮습니다.

$$\text{전체 인원} = S + W + M$$

💡 6학년 "식 쓰기" 그대로 — 미지의 인원수에 문자를 붙여야 관계식을 세울 수 있어요.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

"기혼 남성은 부인과 함께 온다"는 단서를 식으로 옮깁니다.
모든 기혼 남성은 자기 부인을 데려왔고, 거기 있는 모든 부인도 그 남편들 중 한 명과 결혼한 사람이므로 남편과 부인은 정확히 일대일로 짝지어집니다.

$$M = W$$

💡 일대일 짝짓기는 곧바로 개수가 같다는 식을 줘요 — 가장 깔끔한 관계식이에요.

#4 변수 도입하기 7.SP.C.5 단계 3

확률을 식으로 바꿉니다.
"무작위로 뽑은 여성이 미혼"이라는 사건은 표본 공간이 모든 여성이므로 분모는 $S + W$, 분자는 $S$.
이 확률이 $\tfrac{2}{5}$ 와 같습니다.

$$\dfrac{S}{S + W} = \dfrac{2}{5} \;\Rightarrow\; 5S = 2(S+W) \;\Rightarrow\; 3S = 2W$$

💡 7학년 단순 사건의 확률: 유리한 경우 수 ÷ 전체 경우 수. 양변 교차곱해서 분수를 없앱니다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

한 문자로 모두 통일합니다.
2단계에서 $W = M$ 이므로 $3S = 2W$ 의 $W$ 자리에 $M$ 을 넣으면 $3S = 2M$, 즉 $S = \tfrac{2}{3}M$.
이제 $S$, $W$, $M$ 모두 $M$ 의 식으로 표현됐습니다.

$$W = M, \quad S = \dfrac{2}{3}M$$

💡 식 두 개로 미지수 세 개를 묶을 때 한 문자로 정리하면, 최종 비율에서 그 문자가 깔끔히 약분돼요.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 5

기혼 남성이 차지하는 비율을 계산합니다.
$\tfrac{M}{S + W + M}$ 에 $S = \tfrac{2}{3}M$, $W = M$ 을 넣고 분모를 정리합니다.

$$\dfrac{M}{\tfrac{2}{3}M + M + M} = \dfrac{M}{\tfrac{8}{3}M} = \dfrac{3}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $M$ 이 약분된다는 건 답이 실제 인원수와 무관하고 오직 비율에만 의존했다는 증거예요.

[1] #4 6.EE.A.2 세 그룹에 이름을 붙입니다. $S$ = 미혼 여성 수, $W$ = 부인(기혼 여성) 수, $M$ = 기혼 남성 수. 이 셋이 방 안 모든 사람을

[2] #4 6.EE.B.6 "기혼 남성은 부인과 함께 온다"는 단서를 식으로 옮깁니다. 모든 기혼 남성은 자기 부인을 데려왔고, 거기 있는 모든 부인도 그 남편들 중 한

[3] #4 7.SP.C.5 확률을 식으로 바꿉니다. "무작위로 뽑은 여성이 미혼"이라는 사건은 표본 공간이 모든 여성이므로 분모는 $S + W$, 분자는 $S$. 이 확률

[4] #4 7.EE.B.4 한 문자로 모두 통일합니다. 2단계에서 $W = M$ 이므로 $3S = 2W$ 의 $W$ 자리에 $M$ 을 넣으면 $3S = 2M$, 즉 $S

[5] #4 7.RP.A.3 기혼 남성이 차지하는 비율을 계산합니다. $\tfrac{M}{S + W + M}$ 에 $S = \tfrac{2}{3}M$, $W = M$ 을 넣

검토

합리성 확인: 구체적인 숫자를 대입해 봅시다. $M = 3$ 으로 두면 부인도 $W = 3$, 미혼 여성은 $S = 2$. 그러면 여성 $5$ 명 중 미혼은 $2$ 명, 정확히 $\tfrac{2}{5}$ 확률을 만족합니다. 전체 $= 2 + 3 + 3 = 8$, 그중 기혼 남성은 $3$ 명이니 비율은 $\tfrac{3}{8}$. 답 (B) 와 일치합니다. 직관 점검: 여성의 절반 가까이가 기혼이고, 기혼 여성마다 남편이 따라오니 기혼 남성은 방의 꽤 큰 몫이 됩니다 — 절반에 살짝 못 미치는 $\tfrac{3}{8}$ 은 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #9(간단한 경우 시도하기): $\tfrac{2}{5}$ 확률은 여성 수를 $5$ 명으로 잡으면 가장 깔끔합니다. 그러면 미혼이 $2$, 부인이 $3$. 부인마다 남편이 따라오니 기혼 남성도 $3$ 명. 전체 $= 5 + 3 = 8$ 명, 그중 기혼 남성은 $3$ 명이므로 $\tfrac{3}{8}$. 식을 세우지 않고도 같은 답 (B) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (미혼 여성·부인·기혼 남성을 $S$, $W$, $M$ 으로 두어 말을 대수 식으로 옮기는 데 사용.)
6.EE.B.6 실생활 문제를 풀 때 변수를 사용하여 수를 표현하고 식 쓰기 (기혼 남성과 부인이 일대일로 짝지어진다는 조건을 $M = W$ 라는 식으로 옮기는 데 사용.)
7.SP.C.5 확률은 가능성을 나타내는 0과 1 사이의 수임을 이해하기 ($P(\text{미혼}) = \tfrac{2}{5}$ 를 $\tfrac{S}{S+W} = \tfrac{2}{5}$ 로 읽고 일차식 $3S = 2W$ 로 정리하는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수를 이용해 수량을 나타내고 간단한 방정식 세우기 ($M = W$ 와 $3S = 2W$ 를 결합해 $S$, $W$ 를 모두 $M$ 의 식으로 표현하는 데 사용.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 다단계 비·백분율 문제 풀기 (대입과 약분 후 최종 비율 $\tfrac{M}{S+W+M} = \tfrac{3}{8}$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 기혼 남성은 부인과 일대일로 짝지어지니까 남편 수 = 부인 수예요. 거기에 $\tfrac{2}{5}$ 확률만 얹으면 답 $\tfrac{3}{8}$ 이 그대로 떨어지죠 — 실제 인원수는 처음부터 필요 없었어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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