AMC 8 · 2005 · #22

학년 7 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

percentageratio-proportionratefraction-arithmetic identify-subproblemsratio-proportion ↑ 선수 지식: percentageratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A company sells detergent in three different sized boxes: small (S), medium (M) and large (L). The medium size costs 50% more than the small size and contains 20% less detergent than the large size. The large size contains twice as much detergent as the small size and costs 30% more than the medium size. Rank the three sizes from best to worst buy.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

SML

(B)

LMS

(C)

MSL

(D)

LSM

(E)

MLS

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 세제가 소(S), 중(M), 대(L) 세 가지 크기로 팔립니다. 중은 소보다 가격이 $50\%$ 비싸고 용량은 대보다 $20\%$ 적습니다. 대는 소의 두 배 용량이고 가격은 중보다 $30\%$ 비쌉니다. 세 크기를 "가장 이득인 것"부터 "가장 손해인 것" 순으로 나열하세요.

주어진 것: 가격: 중은 소보다 $50\%$ 비싸므로 $\text{가격}(M) = 1.5 \cdot \text{가격}(S)$; 가격: 대는 중보다 $30\%$ 비싸므로 $\text{가격}(L) = 1.3 \cdot \text{가격}(M)$; 용량: 중은 대보다 $20\%$ 적으므로 $\text{용량}(M) = 0.8 \cdot \text{용량}(L)$; 용량: 대는 소의 두 배이므로 $\text{용량}(L) = 2 \cdot \text{용량}(S)$; 선택지: (A) SML, (B) LMS, (C) MSL, (D) LSM, (E) MLS

구하는 것: 온스당 가격이 낮은 것부터 높은 것까지의 순서

이해

계획

주요 도구: #9 간단한 경우로 바꿔 보기 (WLOG)

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 나누기

문제는 "순서"만 묻습니다. 그러니까 실제 가격이나 실제 용량은 중요하지 않고, 비율만 의미가 있어요. 도구 #9(간단한 경우로 바꿔 보기)를 쓰면 작은 박스의 가격과 용량을 편한 숫자로 잡고, 퍼센트 규칙으로 나머지 두 박스를 만들 수 있습니다. 도구 #4(변수 도입하기)도 이걸 뒷받침해요. 소박스를 $c$ 달러, $s$ 온스로 두면 다른 모든 값은 $c$ 또는 $s$ 의 정해진 배수가 되니까요. $c = \$1$, $s = 5$ 온스로 잡으면 계산이 가장 깔끔합니다.

실행 — 정답: E

#9 간단한 경우로 바꿔 보기 (WLOG) 6.RP.A.3 단계 1

소박스에 편한 숫자를 줍니다.
소박스를 $\$1$, $5$ 온스로 잡습니다.
다른 어떤 숫자를 골라도 최종 순위는 똑같습니다.
모든 박스가 소박스의 "퍼센트 배수"로 정해지기 때문이에요.

$\text{가격}(S) = \$1, \quad \text{용량}(S) = 5 \text{ oz}$

💡 6학년 비 추론: 순서는 비율로 결정되므로, 편한 기준값을 잡아도 무방합니다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 2

소박스에서 대박스를 만듭니다.
대는 소의 두 배 용량이므로 $2 \times 5 = 10$ 온스입니다.
대의 가격은 중박스를 거쳐 정해지므로 용량을 먼저 잡아 둡니다.

$$\text{용량}(L) = 2 \cdot 5 = 10 \text{ oz}$$

💡 "두 배"는 가장 깔끔한 비율 관계 — 그대로 적용합니다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 3

중박스를 만듭니다.
가격은 소보다 $50\%$ 비싸므로 $1.5$ 를 곱하고, 용량은 대보다 $20\%$ 적으므로 $0.8$ 을 곱합니다.

$\text{가격}(M) = 1.5 \cdot \$1 = \$1.50, \quad \text{용량}(M) = 0.8 \cdot 10 = 8 \text{ oz}$

💡 7학년 퍼센트 추론: "$50\%$ 더" 는 $\times 1.5$, "$20\%$ 덜" 은 $\times 0.8$.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 4

대박스의 가격을 채웁니다.
대는 중보다 $30\%$ 비싸므로 $\$1.50$ 에 $1.3$ 을 곱합니다.

$\text{가격}(L) = 1.3 \cdot \$1.50 = \$1.95$

💡 같은 퍼센트 규칙: "$30\%$ 더" 는 $\times 1.3$.

#7 작은 문제로 나누기 6.RP.A.2 단계 5

각 박스의 단가(온스당 가격)를 계산합니다.
작을수록 이득입니다.

$\dfrac{\$1}{5\text{ oz}} = \$0.200/\text{oz}, \quad \dfrac{\$1.50}{8\text{ oz}} = \$0.1875/\text{oz}, \quad \dfrac{\$1.95}{10\text{ oz}} = \$0.195/\text{oz}$

💡 6학년 단위 비율: 가격을 용량으로 나누어 같은 기준으로 비교합니다.

#7 작은 문제로 나누기 6.RP.A.3 단계 6

단가를 작은 것부터 큰 것 순으로 정리합니다.
중 ($\$0.1875$) 이 가장 싸고, 대 ($\$0.195$), 소 ($\$0.200$) 순입니다.
이득이 큰 것부터 적은 것까지 순서는 M, L, S 입니다.

$$0.1875 < 0.195 < 0.200 \;\Rightarrow\; M < L < S \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}\ \text{MLS}$$

💡 온스당 가격이 가장 싼 것이 "가장 이득" — 작은 값부터 나열합니다.

[1] #9 6.RP.A.3 소박스에 편한 숫자를 줍니다. 소박스를 $\$1$, $5$ 온스로 잡습니다. 다른 어떤 숫자를 골라도 최종 순위는 똑같습니다. 모든 박스가 소박

[2] #4 7.RP.A.3 소박스에서 대박스를 만듭니다. 대는 소의 두 배 용량이므로 $2 \times 5 = 10$ 온스입니다. 대의 가격은 중박스를 거쳐 정해지므로 용

[3] #4 7.RP.A.3 중박스를 만듭니다. 가격은 소보다 $50\%$ 비싸므로 $1.5$ 를 곱하고, 용량은 대보다 $20\%$ 적으므로 $0.8$ 을 곱합니다.

[4] #4 7.RP.A.3 대박스의 가격을 채웁니다. 대는 중보다 $30\%$ 비싸므로 $\$1.50$ 에 $1.3$ 을 곱합니다.

[5] #7 6.RP.A.2 각 박스의 단가(온스당 가격)를 계산합니다. 작을수록 이득입니다.

[6] #7 6.RP.A.3 단가를 작은 것부터 큰 것 순으로 정리합니다. 중 ($\$0.1875$) 이 가장 싸고, 대 ($\$0.195$), 소 ($\$0.200$) 순

검토

합리성 확인: 다른 기준값으로도 같은 순위가 나오는지 확인해 봅시다. 소를 $\$2$, $10$ 온스로 잡으면 대는 $20$ 온스, 가격은 $1.3 \cdot (1.5 \cdot \$2) = \$3.90$, 중은 가격 $\$3.00$, 용량 $0.8 \cdot 20 = 16$ 온스. 단가는 S $= \$0.200$, M $= \$3.00/16 = \$0.1875$, L $= \$3.90/20 = \$0.195$. 순서는 똑같이 M $<$ L $<$ S. 또 소$\to$중에서 가격은 $50\%$ 늘었지만 용량은 $60\%$ ($5 \to 8$ 온스) 늘었으니, M이 가장 싸다는 결론도 직관적으로 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기)만으로 풀어 봅시다. $\text{가격}(S) = c$, $\text{용량}(S) = s$ 라 두면 $\text{가격}(M) = 1.5c$, $\text{가격}(L) = 1.3 \cdot 1.5c = 1.95c$, $\text{용량}(L) = 2s$, $\text{용량}(M) = 0.8 \cdot 2s = 1.6s$. 단가는 S $= c/s$, M $= 1.5c/1.6s = 0.9375 \cdot (c/s)$, L $= 1.95c/2s = 0.975 \cdot (c/s)$. $c/s$ 단위로 M $= 0.9375$, L $= 0.975$, S $= 1$ 이므로 순서는 MLS, 답은 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.2 비에 연결된 단위 비율(unit rate) 개념 이해하기 (각 박스의 가격을 용량으로 나누어 비교 가능한 "온스당 가격" 을 만드는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 활용해 실생활·수학 문제 해결하기 (소박스에 편한 기준값을 잡고 세 단가를 비교해 순위를 매기는 데 사용.)
7.RP.A.3 비례 관계로 다단계 비율·퍼센트 문제 풀기 ("$50\%$ 더", "$30\%$ 더", "$20\%$ 덜", "두 배" 를 각각 곱셈 인자 $1.5$, $1.3$, $0.8$, $2$ 로 옮기는 데 사용.)

⭐ "어떤 게 가장 이득일까?" 라는 질문에서는 결국 온스당 가격만 보면 됩니다 — 소박스를 편한 숫자로 잡고 퍼센트를 따라 중·대박스를 만든 뒤 나눠 보세요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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