AMC 8 · 2005 · #14
학년 5 counting문제
The Little Twelve Basketball Conference has two divisions, with six teams in each division. Each team plays each of the other teams in its own division twice and every team in the other division once. How many conference games are scheduled?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Little Twelve 농구 컨퍼런스에는 각각 $6$ 팀으로 이루어진 두 디비전이 있습니다. 모든 팀은 같은 디비전의 다른 모든 팀과는 두 번씩, 다른 디비전의 모든 팀과는 한 번씩 경기를 합니다. 컨퍼런스 전체에 예정된 경기 수는 몇 개인가요?
주어진 것: 디비전 $2$ 개, 각 디비전에 $6$ 팀 (총 $12$ 팀); 디비전 내: 같은 디비전의 두 팀끼리는 $2$ 번씩 경기; 디비전 간: 다른 디비전의 두 팀끼리는 $1$ 번씩 경기; 선택지: (A) $80$, (B) $96$, (C) $100$, (D) $108$, (E) $192$
구하는 것: 컨퍼런스 전체에 예정된 총 경기 수
이해
문제 재정리: Little Twelve 농구 컨퍼런스에는 각각 $6$ 팀으로 이루어진 두 디비전이 있습니다. 모든 팀은 같은 디비전의 다른 모든 팀과는 두 번씩, 다른 디비전의 모든 팀과는 한 번씩 경기를 합니다. 컨퍼런스 전체에 예정된 경기 수는 몇 개인가요?
주어진 것: 디비전 $2$ 개, 각 디비전에 $6$ 팀 (총 $12$ 팀); 디비전 내: 같은 디비전의 두 팀끼리는 $2$ 번씩 경기; 디비전 간: 다른 디비전의 두 팀끼리는 $1$ 번씩 경기; 선택지: (A) $80$, (B) $96$, (C) $100$, (D) $108$, (E) $192$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
전체 일정에는 규칙이 다른 두 종류의 경기가 섞여 있어요. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 "디비전 내 경기 합" 과 "디비전 간 경기 합" 두 조각으로 나누면 각 조각은 간단한 곱셈 한 번으로 끝납니다. 한 디비전 안의 팀 짝의 수는 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 잡습니다 — 팀에 번호를 매기고 "자기보다 큰 번호" 와만 짝지으면 같은 짝을 두 번 세지 않으면서 $15$ 쌍을 얻을 수 있어요. 조합 공식이나 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 5학년 산수만으로 풀립니다.
실행 — 정답: B
4.OA.A.3 단계 1 - 작은 문제 1: 한 디비전 안의 팀 짝의 수를 빠짐없이 나열해서 셉니다.
- $6$ 팀에 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 번호를 매기고, 각 팀에 대해 "자기보다 번호가 큰 팀" 과의 짝만 세면 한 짝을 두 번 세는 일이 없습니다.
💡 $1$ 번 팀은 새 짝이 $5$ 개, $2$ 번 팀은 $4$ 개 ($1$ 번과의 짝은 이미 셌어요), 같은 식으로 진행됩니다. "악수 문제" 와 같은 셈이에요.
4.OA.A.1 단계 2 - 이 $15$ 쌍이 각각 두 번씩 경기를 하고, 같은 규칙을 따르는 디비전이 둘 있어요.
- 그래서 디비전 내 경기 총수는 한 디비전의 짝 수에 "경기 수 $2$" 와 "디비전 수 $2$" 를 곱하면 됩니다.
💡 "두 번씩 경기" 는 곱셈 비교 — 경기 수를 두 배로 만듭니다. 똑같은 디비전이 둘이라 다시 두 배가 됩니다.
5.OA.A.2 단계 3 - 작은 문제 2: 디비전 간 경기 수를 셉니다.
- A 디비전의 $6$ 팀 각각이 B 디비전의 $6$ 팀 각각과 정확히 한 번씩 경기하므로 단순한 곱셈입니다.
💡 A 디비전의 모든 팀과 B 디비전의 모든 팀을 짝지으면 $6 \times 6$ 격자가 됩니다.
4.OA.A.3 단계 4 두 작은 문제의 합계를 더해 전체 일정을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다.
💡 디비전 내 경기와 디비전 간 경기는 겹치지 않으므로 그냥 더하면 됩니다.
4.OA.A.3 작은 문제 1: 한 디비전 안의 팀 짝의 수를 빠짐없이 나열해서 셉니다. $6$ 팀에 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 번호를 매기고, 각 팀에 4.OA.A.1 이 $15$ 쌍이 각각 두 번씩 경기를 하고, 같은 규칙을 따르는 디비전이 둘 있어요. 그래서 디비전 내 경기 총수는 한 디비전의 짝 수에 "경 5.OA.A.2 작은 문제 2: 디비전 간 경기 수를 셉니다. A 디비전의 $6$ 팀 각각이 B 디비전의 $6$ 팀 각각과 정확히 한 번씩 경기하므로 단순한 곱 4.OA.A.3 두 작은 문제의 합계를 더해 전체 일정을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다. 검토
합리성 확인: 크기를 점검해 봅시다. 느슨한 상한선으로 $12$ 팀이 서로서로 두 번씩 경기한다고 하면 $12 \times 11 = 132$ 개의 순서 있는 짝, 즉 $66$ 개의 순서 없는 짝이 나오고, 모든 짝이 두 번씩 경기하면 최대 $132$ 경기입니다. 우리 답은 디비전 내 $60$ 과 한 번씩만 하는 디비전 간 $36$ 을 더한 $96$ 으로 그 한도 아래에 잘 들어가요. 함정 선택지는 흔한 실수에서 나옵니다 — $100$ 은 $60 + 40$ (디비전 간을 과대 계산), $108$ 은 $72 + 36$ (디비전 간도 $\times 2$ 한 실수), $192$ 는 $96 \times 2$ (한 경기를 두 팀 시점에서 두 번 셈), $80$ 은 $40 + 40$ (두 번째 디비전의 디비전 내 경기를 빼먹은 경우) 입니다.
대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 각 디비전을 $2$ 팀으로 줄여 봅니다. 디비전 내: 각 디비전에 $1$ 쌍이 두 번 경기 → $1 \times 2 \times 2 = 4$ 경기, 디비전 간: $2 \times 2 = 4$ 경기, 총 $8$. $3$ 팀씩으로 늘리면 디비전 내 $= 3 \times 2 \times 2 = 12$, 디비전 간 $= 3 \times 3 = 9$, 총 $21$. "디비전 내 $= \binom{n}{2} \cdot 2 \cdot 2$, 디비전 간 $= n \cdot n$" 패턴이 보이고, $n = 6$ 을 넣으면 $60 + 36 = 96$ 으로 (B) 가 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.A.1곱셈식을 "몇 배" 비교로 해석하기 ("각 짝이 두 번씩 경기한다" 를 디비전 내 경기 수를 두 배로 만드는 곱셈 비교로 읽어내는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 풀기 (한 디비전의 $15$ 쌍을 나열하고, 디비전 내·디비전 간 합계를 더해 최종 합을 구하는 데 사용.)5.OA.A.2계산 과정을 식으로 적기 (디비전 간 경기 수를 $6 \times 6$ 으로, 디비전 내 경기 수를 $15 \times 2 \times 2$ 로 식으로 기록한 뒤 계산하는 데 사용.)
⭐ 일정을 "같은 디비전" 과 "다른 디비전" 두 조각으로 쪼개고, 각각 짧은 곱셈으로 세어 더하세요. 이 한 번의 쪼개기로 AMC 8 문제는 5학년 다단계 산수 문제가 됩니다.
⭐ 일정을 "같은 디비전" 과 "다른 디비전" 두 조각으로 쪼개고, 각각 짧은 곱셈으로 세어 더하세요. 이 한 번의 쪼개기로 AMC 8 문제는 5학년 다단계 산수 문제가 됩니다.
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