AMC 8 · 2005 · #25
학년 8 geometry-2d문제
A square with side length 2 and a circle share the same center. The total area of the regions that are inside the circle and outside the square is equal to the total area of the regions that are outside the circle and inside the square. What is the radius of the circle?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형과 한 원이 같은 중심을 공유합니다. 원의 안쪽이면서 정사각형 바깥인 부분의 넓이는, 정사각형 안쪽이면서 원 바깥인 부분의 넓이와 같습니다. 원의 반지름 $r$ 을 구하세요.
주어진 것: 정사각형 한 변의 길이 $= 2$, 따라서 정사각형 넓이 $= 4$; 정사각형과 원은 같은 중심을 공유한다; (원 안 $\cap$ 정사각형 밖) 넓이 $=$ (정사각형 안 $\cap$ 원 밖) 넓이; 선택지: (A) $\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$, (B) $\tfrac{1+\sqrt{2}}{2}$, (C) $\tfrac{3}{2}$, (D) $\sqrt{3}$, (E) $\sqrt{\pi}$
구하는 것: 원의 반지름 $r$
이해
문제 재정리: 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형과 한 원이 같은 중심을 공유합니다. 원의 안쪽이면서 정사각형 바깥인 부분의 넓이는, 정사각형 안쪽이면서 원 바깥인 부분의 넓이와 같습니다. 원의 반지름 $r$ 을 구하세요.
주어진 것: 정사각형 한 변의 길이 $= 2$, 따라서 정사각형 넓이 $= 4$; 정사각형과 원은 같은 중심을 공유한다; (원 안 $\cap$ 정사각형 밖) 넓이 $=$ (정사각형 안 $\cap$ 원 밖) 넓이; 선택지: (A) $\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$, (B) $\tfrac{1+\sqrt{2}}{2}$, (C) $\tfrac{3}{2}$, (D) $\sqrt{3}$, (E) $\sqrt{\pi}$
계획
주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기
보조 도구: #1 그림 그리기
정사각형과 원이 겹친 영역은 모양이 복잡하지만, 문제는 그 넓이를 묻지 않습니다. 이게 바로 도구 #11 (변하지 않는 것 찾기) 의 신호예요. 겹친 부분의 넓이를 $I$ 라 놓으면 식의 양변에 똑같이 나타나 그대로 지워집니다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 같은 중심을 가진 원과 정사각형을 그려 놓으면 세 부분(원만, 정사각형만, 겹친 부분)이 분명히 보이고, 각 도형 전체에서 겹친 부분을 빼는 일이 자연스러워집니다. $I$ 가 사라진 뒤에는 원의 넓이가 정사각형의 넓이와 같아지고, 넓이 공식 하나로 $r$ 이 나옵니다.
실행 — 정답: A
7.G.B.4 단계 1 - 같은 중심을 가진 정사각형과 원을 그리고 세 부분에 이름을 붙입니다.
- 겹친 부분(두 도형 모두에 속하는 영역)의 넓이를 $I$ 라 합시다.
- 원 안이면서 정사각형 밖인 영역의 넓이는 $\pi r^2 - I$, 정사각형 안이면서 원 밖인 영역의 넓이는 $4 - I$ 입니다.
💡 그림을 보면 각 도형은 곧 "겹친 부분 $+$ 자기만의 초승달 모양" 이므로, 초승달 부분은 전체에서 겹친 부분을 뺀 값입니다.
7.EE.B.4 단계 2 - 문제가 요구한 대로 두 초승달 영역의 넓이를 같다고 놓습니다.
- 모르는 값 $I$ 가 양변에 똑같이 들어 있어 그대로 사라져요 — 이것이 바로 불변량입니다.
- 남은 식은 원과 정사각형의 전체 넓이가 같다는 사실을 말해 줍니다.
💡 양변에서 $I$ 를 빼는 것은 7학년의 "양변에 똑같은 것을 하자" 그대로의 동작입니다. $I$ 는 우리가 구할 수 없는 유일한 부분이라, 그것을 지우는 일이 정확히 우리에게 필요한 단계입니다.
8.EE.A.2 단계 3 - $\pi r^2 = 4$ 를 $r$ 에 대해 풉니다.
- $\pi$ 로 나눈 뒤 반지름은 양수이므로 양의 제곱근을 취합니다.
💡 8학년의 제곱근 한 단계로 $r^2$ 이 풀립니다. $\sqrt{4/\pi}$ 를 $\sqrt{4}/\sqrt{\pi}$ 로 나누면 (A) 의 깔끔한 형태 $2/\sqrt{\pi}$ 가 나옵니다.
7.G.B.4 같은 중심을 가진 정사각형과 원을 그리고 세 부분에 이름을 붙입니다. 겹친 부분(두 도형 모두에 속하는 영역)의 넓이를 $I$ 라 합시다. 원 7.EE.B.4 문제가 요구한 대로 두 초승달 영역의 넓이를 같다고 놓습니다. 모르는 값 $I$ 가 양변에 똑같이 들어 있어 그대로 사라져요 — 이것이 바로 불 8.EE.A.2 $\pi r^2 = 4$ 를 $r$ 에 대해 풉니다. $\pi$ 로 나눈 뒤 반지름은 양수이므로 양의 제곱근을 취합니다. 검토
합리성 확인: 크기를 확인합시다. $\pi \approx 3.14$ 이므로 $r = 2/\sqrt{3.14} \approx 2/1.77 \approx 1.13$. 정사각형에 내접하는 원의 반지름은 $1$, 외접하는 원의 반지름은 $\sqrt{2} \approx 1.41$ 이므로, 답 $1.13$ 은 그 사이에 들어갑니다 — 두 초승달 넓이가 같으려면 정확히 그 위치에 있어야 해요. (C) $\tfrac{3}{2} = 1.5$ 는 너무 커서 원이 정사각형을 거의 삼키게 되고, (B) $\tfrac{1+\sqrt{2}}{2} \approx 1.21$ 은 가깝지만 넓이가 같아지지 않습니다: $\pi(1.21)^2 \approx 4.59 \neq 4$.
대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 바꾸기): 기하를 잠시 잊고 더 단순한 질문을 던집니다 — "원의 전체 넓이와 정사각형의 전체 넓이가 같아지는 $r$ 은?" 이러면 $\pi r^2 = 4$ 가 한 줄에 나옵니다. 그리고 두 전체 넓이가 같을 때마다 공유 부분(겹친 부분)이 자동으로 양변에서 사라지므로, 두 초승달 영역의 넓이도 반드시 같아진다는 점을 알아챕니다. 논증의 방향만 뒤집은 셈인데 같은 식, 같은 답 (A) 에 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식을 알고 이를 문제 해결에 활용하기 (원의 넓이를 $\pi r^2$, 정사각형의 넓이를 $2^2 = 4$ 로 써서 두 초승달 영역을 $\pi r^2 - I$ 와 $4 - I$ 로 표현하는 데 사용.)7.EE.B.4변수로 양을 나타내고, 간단한 방정식·부등식을 세워 해결 (넓이가 같다는 조건에서 $\pi r^2 - I = 4 - I$ 를 세우고 미지의 겹친 넓이 $I$ 를 양변에서 지워 $\pi r^2 = 4$ 를 얻는 데 사용.)8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호 사용하기; 작은 완전제곱수의 제곱근 다루기 ($r^2 = 4/\pi$ 의 양의 제곱근을 취해 $r = 2/\sqrt{\pi}$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 복잡한 겹친 부분의 넓이는 결코 구할 필요가 없어요 — 양변에 똑같이 나타나 그대로 지워지니까요. 그 뒤에는 원의 넓이와 정사각형의 넓이가 같다는 식만 남고, 제곱근 한 번으로 $r = \tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ 가 나옵니다.
⭐ 복잡한 겹친 부분의 넓이는 결코 구할 필요가 없어요 — 양변에 똑같이 나타나 그대로 지워지니까요. 그 뒤에는 원의 넓이와 정사각형의 넓이가 같다는 식만 남고, 제곱근 한 번으로 $r = \tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ 가 나옵니다.
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