AMC 8 · 2025 · #25

• 다이아몬드와 경로 하나를 그려 봅니다.
• $5\times5$ 정사각형을 $45°$ 돌린 모양이므로, NE 와 NW 는 회전 전 정사각형의 두 격자 방향에 해당합니다.
• 경로는 NE $5$ 번 + NW $5$ 번으로 아래 꼭짓점에서 위 꼭짓점까지 올라가고, "오른쪽 영역" 은 경로 오른쪽이면서 다이아몬드 오른쪽 변 왼쪽인 부분입니다.

💡 다이아몬드와 예시 경로를 그려 보면, 위·아래 꼭짓점을 지나는 수직선이 자연스러운 대칭축이라는 점이 한눈에 들어옵니다.

• 전체 경로의 수를 셉니다.
• 각 경로는 $10$ 단계 중 어디에 NE 를 둘지 정하는 문제이므로, NE 자리 $5$ 개를 고르는 조합의 수가 곧 경로 수입니다.

💡 NE/NW 글자 $5$ 개씩으로 이루어진 길이 $10$ 인 문자열을 빠짐없이 나열해 세는 것은 7학년 "복합 사건을 표로 정리해 세기" 그대로입니다.

• 대칭 발상을 더 작은 다이아몬드에서 먼저 검증합니다.
• $1 \times 1$ 다이아몬드에는 경로가 NE-NW, NW-NE 두 가지뿐이고 오른쪽 넓이는 $1, 0$ 이라 합이 $1 = 2 \times \tfrac{1}{2}$.
• $2 \times 2$ 다이아몬드에서는 $\binom{4}{2}=6$ 개 경로의 오른쪽 넓이가 $\{0,1,1,3,3,4\}$ 이고 합이 $12 = 6 \times \tfrac{4}{2}$.
• 두 경우 모두 "합 = 경로 수 $\times$ 격자 전체 넓이의 절반" 이 성립하므로, $5 \times 5$ 에서도 같은 전략을 신뢰할 수 있습니다.

💡 같은 설정을 아주 작은 격자에서 먼저 풀어 보면, "합 = 경로 수 $\times$ 격자 넓이의 절반" 이라는 규칙이 보이고 큰 격자에서도 안심하고 쓸 수 있습니다.

• 이제 도구 #16(관점 바꾸기)을 적용합니다.
• 임의의 경로 $P$ 에 대해, 모든 NE 를 NW 로 바꿔서 거울 경로 $P'$ 를 정의합니다.
• $P'$ 도 똑같이 유효한 경로이고, $P'$ 의 오른쪽 넓이는 $P$ 의 왼쪽 넓이와 같습니다.
• 또한 한 경로의 오른쪽과 왼쪽 영역은 다이아몬드 전체를 덮으므로 $A_R(P) + A_L(P) = 25$ 입니다.

💡 도형을 거울처럼 뒤집는 반사(8학년 강체 변환)는 좌우를 바꾸지만 길이와 넓이는 그대로 둡니다.

• 위 두 식을 합쳐서 짝을 이룹니다.
• 순서 없는 짝 $\{P, P'\}$ 마다 $A_R(P) + A_R(P') = A_R(P) + A_L(P) = 25$ 가 됩니다.
• 혹시 $P$ 자체가 자기 대칭이라 $P=P'$ 인 경우에도 같은 식이 $2A_R(P) = 25$ 를 강제하므로 그 경로 역시 자기 짝과 함께 셀 때 $25$ 를 기여합니다.
• 결국 $252$ 개 경로 모두 짝 합이 $25$ 가 되도록 묶을 수 있습니다.

💡 두 넓이 식을 더하면 모르는 값 $A_R(P)$ 가 상쇄되고 상수 $25$ 만 남는다는 점이 "관점 바꾸기" 의 핵심 수확입니다.

• $252$ 개 경로 전체에 대해 합을 구합니다.
• 각 경로의 오른쪽 넓이와 그 거울 경로의 오른쪽 넓이가 항상 $25$ 를 이루므로, 평균 오른쪽 넓이는 $\tfrac{25}{2}$ 이고 총합은 경로 수 $\times$ 평균입니다.

💡 개수에 평균(격자 넓이의 절반)을 곱해 총합을 구하는 것은 7학년 유리수 사칙연산 그대로입니다.