AMC 8 · 2005 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search

parityformula-substitutionsystematic-enumeration systematic-enumerationguess-and-check ↑ 선수 지식: parity

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Suppose m and n are positive odd integers. Which of the following must also be an odd integer?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

m+3n

(B)

3m-n

(C)

$3m^2 + 3n^2$

(D)

$(nm + 3)^2$

(E)

3mn

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $m$ 과 $n$ 이 양의 홀수일 때, 다섯 식 $m+3n$, $3m-n$, $3m^2+3n^2$, $(nm+3)^2$, $3mn$ 중 반드시 홀수가 되는 것은 어떤 것일까요?

주어진 것: $m$ 은 양의 홀수 정수; $n$ 은 양의 홀수 정수; 선택지: (A) $m+3n$, (B) $3m-n$, (C) $3m^2+3n^2$, (D) $(nm+3)^2$, (E) $3mn$

구하는 것: 어떤 $(m, n)$ 을 골라도 항상 홀수가 되는 식

이해

문제 재정리: $m$ 과 $n$ 이 양의 홀수일 때, 다섯 식 $m+3n$, $3m-n$, $3m^2+3n^2$, $(nm+3)^2$, $3mn$ 중 반드시 홀수가 되는 것은 어떤 것일까요?

주어진 것: $m$ 은 양의 홀수 정수; $n$ 은 양의 홀수 정수; 선택지: (A) $m+3n$, (B) $3m-n$, (C) $3m^2+3n^2$, (D) $(nm+3)^2$, (E) $3mn$

계획

주요 도구: #12 홀짝/나머지 따지기

보조 도구: #3 가능성 지우기

$m$ 과 $n$ 의 구체적인 값은 주어지지 않고, 오직 "양의 홀수" 라는 정보만 있어요. 이런 상황에 딱 맞는 것이 도구 #12 (홀짝/나머지 따지기) 입니다 — 짧은 두 가지 규칙 (홀수 $\pm$ 홀수 $=$ 짝수, 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수) 으로 각 식의 홀짝만 추적하면 되고 수의 크기는 무시할 수 있어요. 그렇게 다섯 선택지의 홀짝이 정해지면, 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 짝수가 되는 선택지를 모두 지웁니다. 살아남는 한 개가 답입니다.

실행 — 정답: E

#12 홀짝/나머지 따지기 2.OA.C.3 단계 1

이번 문제에 필요한 홀짝 규칙 두 개를 정리합니다.
$m$ 과 $n$ 이 모두 홀수일 때, $3$ 은 홀수이므로 $3n =$ 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수이고 $3m$ 도 마찬가지로 홀수입니다.
홀수 두 개를 더하거나 빼면 짝수, 홀수 여러 개를 곱하면 다시 홀수예요.

$$\text{홀수} \pm \text{홀수} = \text{짝수}, \qquad \text{홀수} \times \text{홀수} = \text{홀수}$$

💡 이 두 규칙이면 문제의 모든 식을 판별할 수 있어요 — 나머지는 규칙 따라가기뿐.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 2

선택지 (A): $m + 3n$.
$m$ 과 $3n$ 이 모두 홀수이고, 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수입니다.
그래서 (A) 는 항상 짝수예요.
지웁니다.

$$m + 3n = \text{홀수} + \text{홀수} = \text{짝수}$$

💡 홀수 두 묶음은 서로 짝을 지으면 딱 맞으니 합은 짝수가 돼요.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 3

선택지 (B): $3m - n$.
$3m$ 도 홀수, $n$ 도 홀수이고, 홀수 $-$ 홀수 $=$ 짝수입니다.
지웁니다.

$$3m - n = \text{홀수} - \text{홀수} = \text{짝수}$$

💡 뺄셈도 덧셈과 같은 홀짝 규칙을 따릅니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.B.5 단계 4

선택지 (C): $3m^2 + 3n^2$.
홀수의 제곱은 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수이고, 거기에 홀수인 $3$ 을 곱해도 여전히 홀수예요.
그래서 $3m^2$ 과 $3n^2$ 모두 홀수이고, 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수입니다.
지웁니다.

$$3m^2 + 3n^2 = \text{홀수} + \text{홀수} = \text{짝수}$$

💡 제곱이나 앞의 $3$ 은 홀짝을 바꾸지 않아 두 항 모두 홀수, 합은 짝수가 돼요.

#3 가능성 지우기 3.OA.B.5 단계 5

선택지 (D): $(nm + 3)^2$.
괄호 안에서 $nm =$ 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수, 거기에 $3$ 을 더하면 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수입니다.
짝수의 제곱은 짝수이므로 (D) 도 짝수예요.
지웁니다.

$$(nm + 3)^2 = (\text{홀수} + \text{홀수})^2 = (\text{짝수})^2 = \text{짝수}$$

💡 제곱은 홀짝을 바꾸지 못합니다 — 짝수를 제곱해도 여전히 짝수.

#12 홀짝/나머지 따지기 6.EE.A.2 단계 6

선택지 (E): $3mn$.
이 식은 홀수 세 개 ($3$, $m$, $n$) 의 곱이고, 홀수 $\times$ 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수입니다.
반드시 홀수인 식은 (E) 하나뿐이에요.

$$3mn = \text{홀수} \times \text{홀수} \times \text{홀수} = \text{홀수} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 홀수끼리는 아무리 많이 곱해도 결과는 홀수 — 그래서 (E) 가 확정입니다.

[1] #12 2.OA.C.3 이번 문제에 필요한 홀짝 규칙 두 개를 정리합니다. $m$ 과 $n$ 이 모두 홀수일 때, $3$ 은 홀수이므로 $3n =$ 홀수 $\times

[2] #3 2.OA.C.3 선택지 (A): $m + 3n$. $m$ 과 $3n$ 이 모두 홀수이고, 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수입니다. 그래서 (A) 는 항상 짝수예요.

[3] #3 2.OA.C.3 선택지 (B): $3m - n$. $3m$ 도 홀수, $n$ 도 홀수이고, 홀수 $-$ 홀수 $=$ 짝수입니다. 지웁니다.

[4] #3 3.OA.B.5 선택지 (C): $3m^2 + 3n^2$. 홀수의 제곱은 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수이고, 거기에 홀수인 $3$ 을 곱해도 여전히 홀

[5] #3 3.OA.B.5 선택지 (D): $(nm + 3)^2$. 괄호 안에서 $nm =$ 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수, 거기에 $3$ 을 더하면 홀수 $+$

[6] #12 6.EE.A.2 선택지 (E): $3mn$. 이 식은 홀수 세 개 ($3$, $m$, $n$) 의 곱이고, 홀수 $\times$ 홀수 $\times$ 홀수 $=

검토

합리성 확인: 가장 간단한 경우 $m = n = 1$ 로 확인해 봅시다. (A) $1 + 3 = 4$ 짝수, (B) $3 - 1 = 2$ 짝수, (C) $3 + 3 = 6$ 짝수, (D) $(1 + 3)^2 = 16$ 짝수, (E) $3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$ 홀수. $m = 3, n = 5$ 도 해보면 (E) $3 \cdot 3 \cdot 5 = 45$ 역시 홀수입니다. 우리가 세운 홀짝 논증이 정확히 예측한 그대로예요 — (E) 만 홀수, 나머지 네 개는 "홀수 $\pm$ 홀수" 또는 "짝수의 제곱" 형태라 반드시 짝수.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 일반적인 $m, n$ 대신 가장 작은 경우 $m = n = 1$ 만 넣어봅니다. 그러면 각 선택지가 $4, 2, 6, 16, 3$ 이 되어 홀수는 $3$ 하나, 즉 (E) 뿐이에요. 문제는 "모든 양의 홀수 $(m, n)$ 에 대해 홀수" 인 식을 묻기 때문에, 단 한 번의 반례로 짝수가 나오는 선택지는 모두 탈락하고, 남은 (E) 가 답으로 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.OA.C.3 어떤 모임이 홀수 개인지 짝수 개인지 판별하기 (이 문제의 핵심 두 규칙 — 홀수 $\pm$ 홀수 $=$ 짝수, 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수 — 을 정리하고 (A), (B) 를 판별하는 데 사용.)
3.OA.B.5 연산의 성질을 이용한 곱셈·나눗셈 전략 적용 (제곱과 상수 $3$ 의 곱셈에도 홀짝 규칙이 그대로 적용된다는 점을 이용해 (C), (D) 를 지우는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (각 식 $m+3n$, $3m-n$, $3m^2+3n^2$, $(nm+3)^2$, $3mn$ 을 $m, n$ 으로 만든 계산 규칙으로 읽어, 홀짝 규칙을 기호적으로 적용하는 데 사용.)

⭐ 입력의 홀짝만 주어진 문제에서는 실제 숫자를 잊고 "홀수" / "짝수" 만 따라가세요. 단 두 가지 규칙 (홀수 $\pm$ 홀수 $=$ 짝수, 홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수) 으로 이 AMC 8 문제의 다섯 선택지를 한꺼번에 정리할 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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