AMC 8 · 2006 · #10

학년 5 geometry-2d

factorscoordinate-geometryarea-rectanglessystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: factorscoordinate-geometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

Jorge's teacher asks him to plot all the ordered pairs $(w. l)$ of positive integers for which $w$ is the width and $l$ is the length of a rectangle with area 12. What should his graph look like?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Six points $(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1)$ on the curve $wl=12$

(B)

Six points on the diagonal line $l=w$: $(1,1), (3,3), (5,5), (7,7), (9,9), (11,11)$

(C)

Six points on the anti-diagonal line $w+l=12$: $(1,11), (3,9), (5,7), (7,5), (9,3), (11,1)$

(D)

Six horizontal points at height $l=6$: $(1,6), (3,6), (5,6), (7,6), (9,6), (11,6)$

(E)

Six vertical points at $w=6$: $(6,1), (6,3), (6,5), (6,7), (6,9), (6,11)$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 호르헤(Jorge)는 가로 $w$, 세로 $l$ 이 모두 양의 정수이고 넓이가 $12$ 인 직사각형의 순서쌍 $(w, l)$ 을 모두 좌표평면에 찍어야 합니다. 다섯 개의 후보 그래프 중 그 점들이 정확히 일치하는 그래프를 고르세요.

주어진 것: $w$ 와 $l$ 은 모두 양의 정수이다; 직사각형의 넓이는 $w \times l = 12$; 가로축은 $w$, 세로축은 $l$; 후보 그래프 (A)-(E) 는 각각 여섯 개의 점을 표시한다

구하는 것: $wl = 12$ 를 만족하는 정수 순서쌍 $(w, l)$ 을 정확히 모두 보여 주는 그래프

이해

계획

주요 도구: #2 체계적으로 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기

문제는 결국 한 가지로 줄어듭니다 — $wl = 12$ 를 만족하는 양의 정수 쌍 $(w, l)$ 은 무엇인가? 도구 #2(체계적으로 나열하기)가 이 작업에 딱 맞습니다. $w = 1, 2, 3, \dots$ 을 차례로 넣어 $l = 12/w$ 가 양의 정수가 되는 경우만 남기면 됩니다. 목록이 완성되면 도구 #1(그림 그리기)로 각 쌍을 $w$-$l$ 평면의 점으로 옮겨 다섯 후보와 맞춰 봅니다. 대수도 특별한 요령도 필요 없고, $12$ 의 약수 쌍을 빠짐없이 적는 것이 전부입니다.

실행 — 정답: A

#2 체계적으로 나열하기 4.MD.A.3 단계 1

그림을 한 줄의 식으로 옮깁니다.
가로 $w$, 세로 $l$ 인 직사각형의 넓이는 $w \times l$ 이고, 문제에서 이 값이 $12$ 로 정해져 있습니다.
따라서 $wl = 12$ 인 양의 정수 $w, l$ 을 찾아야 합니다.

$$w \times l = 12,\ \ w, l \in \{1, 2, 3, \dots\}$$

💡 4학년 학생도 이미 직사각형 넓이 공식 $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로}$ 를 압니다. 문제는 자연수 가로·세로 중 어떤 조합이 넓이 $12$ 를 만드는지 묻는 것뿐입니다.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

$12$ 의 약수 쌍을 차례대로 나열합니다.
$w = 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$ 을 넣어 보고 $l = 12 / w$ 가 양의 정수가 되는 경우만 남깁니다.
나누어떨어지지 않는 $w = 5, 7, 8, 9, 10, 11$ 은 건너뜁니다.

$$(1, 12),\ (2, 6),\ (3, 4),\ (4, 3),\ (6, 2),\ (12, 1)$$

💡 자연수의 약수 쌍을 모두 찾는 것은 4학년 "약수 쌍" 과정 그대로입니다. $12$ 의 약수가 $6$ 개라서 쌍도 $6$ 개입니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 3

여섯 쌍을 $w$-$l$ 평면에 찍어 봅니다.
각 $(w, l)$ 은 가로 좌표 $w$, 세로 좌표 $l$ 인 점이 됩니다.
점들은 오른쪽 아래로 내려가는 곡선 모양으로 놓입니다.

$$\text{점들: } (1, 12),\ (2, 6),\ (3, 4),\ (4, 3),\ (6, 2),\ (12, 1)$$

💡 순서쌍을 좌표평면의 점으로 옮기는 것은 5학년 좌표평면 표현 표준 그대로이고, 호르헤의 선생님이 확인하려는 바로 그 능력입니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 4

다섯 후보와 비교합니다.
그래프 (A) 는 $(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1)$ 여섯 점을 그대로 찍어 정확히 일치합니다.
(B) 는 $w = l$, (C) 는 $w + l = 12$, (D) 는 $l = 6$, (E) 는 $w = 6$ 인 점들로, 모두 $wl = 12$ 를 만족하지 않습니다.

$$\text{그래프 (A) 가 일치} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 점 목록을 한 번 적어 두면 각 그림에서 그대로 읽어 맞추기만 하면 됩니다.

[1] #2 4.MD.A.3 그림을 한 줄의 식으로 옮깁니다. 가로 $w$, 세로 $l$ 인 직사각형의 넓이는 $w \times l$ 이고, 문제에서 이 값이 $12$ 로

[2] #2 4.OA.B.4 $12$ 의 약수 쌍을 차례대로 나열합니다. $w = 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$ 을 넣어 보고 $l = 12 / w$ 가 양의

[3] #1 5.G.A.2 여섯 쌍을 $w$-$l$ 평면에 찍어 봅니다. 각 $(w, l)$ 은 가로 좌표 $w$, 세로 좌표 $l$ 인 점이 됩니다. 점들은 오른쪽 아래

[4] #1 5.G.A.2 다섯 후보와 비교합니다. 그래프 (A) 는 $(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1)$ 여섯 점을 그대로 찍

검토

합리성 확인: (A) 의 각 점을 곱으로 빠르게 확인합니다: $1 \times 12 = 12$, $2 \times 6 = 12$, $3 \times 4 = 12$, $4 \times 3 = 12$, $6 \times 2 = 12$, $12 \times 1 = 12$. 여섯 곱이 모두 $12$ 이므로 모든 점이 $(w, l)$ 조건을 만족합니다. 다른 그래프는 점검 한 번에 탈락합니다 — (B) 의 $(3, 3)$ 은 곱이 $9 \ne 12$, (C) 의 $(1, 11)$ 은 $11 \ne 12$, (D) 의 $(1, 6)$ 은 $6 \ne 12$, (E) 는 $(6, 1)$ 만 우연히 $6 \ne 12$ — 정확히는 $(6, 1)$ 외에 $(6, 3)$ 의 곱이 $18$ 이라 탈락합니다. 따라서 (A) 만 살아남습니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 단독: 단위 정사각형 $12$ 개를 자연수 변 길이를 가진 직사각형으로 다시 배열해 봅니다. $1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$, $4 \times 3$, $6 \times 2$, $12 \times 1$ — 여섯 가지 직사각형이 나옵니다. 각 직사각형이 점 하나에 대응하므로 그래프에는 정확히 여섯 점이 찍히고, 이는 그래프 (A) 와 같습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.MD.A.3 실생활 문제에서 직사각형의 넓이·둘레 공식 적용하기 (직사각형 그림을 $w \times l = 12$ 라는 식으로 옮기는 데 사용 — 넓이가 고정된 4학년 넓이 공식.)
4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 인식하기; 소수·합성수 판별하기 ($12$ 의 양의 정수 약수 쌍을 빠짐없이 나열해 여섯 개의 순서쌍을 얻는 4학년 약수 쌍 표준에 그대로 해당.)
5.G.A.2 점을 좌표평면에 나타내어 실생활 및 수학 문제 표현하기 (각 순서쌍 $(w, l)$ 을 좌표평면의 점으로 찍고, 점 집합을 후보 그래프와 맞추는 데 사용.)

⭐ "가로 $\times$ 세로 $= N$ 인 모든 $(w, l)$ 을 찍어라" 라는 문제는 결국 $N$ 의 약수 쌍을 모두 찾는 문제입니다. $w = 1, 2, 3, \dots$ 을 훑어 약수만 남기면 점이 다 모입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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