AMC 8 · 2006 · #13
학년 6 rate-ratio문제
Cassie leaves Escanaba at 8:30 AM heading for Marquette on her bike. She bikes at a uniform rate of 12 miles per hour. Brian leaves Marquette at 9:00 AM heading for Escanaba on his bike. He bikes at a uniform rate of 16 miles per hour. They both bike on the same 62-mile route between Escanaba and Marquette. At what time in the morning do they meet?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 캐시(Cassie)는 오전 $8\!:\!30$ 에 Escanaba 에서 출발해 시속 $12$ 마일로 Marquette 방향으로 자전거를 탑니다. 브라이언(Brian)은 오전 $9\!:\!00$ 에 Marquette 에서 출발해 시속 $16$ 마일로 Escanaba 방향으로 자전거를 탑니다. 두 도시 사이 거리는 $62$ 마일입니다. 두 사람은 몇 시에 만나나요?
주어진 것: 캐시: 오전 $8\!:\!30$ Escanaba 출발, 속력 $12$ mph; 브라이언: 오전 $9\!:\!00$ Marquette 출발, 속력 $16$ mph; 두 도시 사이 총 거리: $62$ 마일; 선택지: (A) $10\!:\!00$, (B) $10\!:\!15$, (C) $10\!:\!30$, (D) $11\!:\!00$, (E) $11\!:\!30$
구하는 것: 캐시와 브라이언이 만나는 시각
이해
문제 재정리: 캐시(Cassie)는 오전 $8\!:\!30$ 에 Escanaba 에서 출발해 시속 $12$ 마일로 Marquette 방향으로 자전거를 탑니다. 브라이언(Brian)은 오전 $9\!:\!00$ 에 Marquette 에서 출발해 시속 $16$ 마일로 Escanaba 방향으로 자전거를 탑니다. 두 도시 사이 거리는 $62$ 마일입니다. 두 사람은 몇 시에 만나나요?
주어진 것: 캐시: 오전 $8\!:\!30$ Escanaba 출발, 속력 $12$ mph; 브라이언: 오전 $9\!:\!00$ Marquette 출발, 속력 $16$ mph; 두 도시 사이 총 거리: $62$ 마일; 선택지: (A) $10\!:\!00$, (B) $10\!:\!15$, (C) $10\!:\!30$, (D) $11\!:\!00$, (E) $11\!:\!30$
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #1 그림 그리기
전형적인 속력·거리·시간 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기) 이 가장 자연스럽습니다. 속력은 mph, 시간은 분으로 주어져 있으니, 분을 시간 단위로 바꿔야 속력 $\times$ 시간이 마일로 깔끔하게 떨어집니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 문장을 $62$ 마일 선분 위에 서로 마주 보는 화살표로 옮겨 줍니다. 그림만 그려도 캐시의 선행 거리와 두 사람이 마주 다가오는 "합산 속력" 이 한눈에 보입니다. 세 단계면 풀리므로 도구 #13(대수) 까지 갈 필요가 없습니다.
실행 — 정답: D
4.OA.A.3 단계 1 - 길과 선행 거리를 그림으로 나타냅니다.
- 왼쪽에 Escanaba, 오른쪽에 Marquette, 그 사이에 $62$ 마일의 선분을 둡니다.
- 캐시는 브라이언보다 $30$ 분 먼저 출발하므로, 브라이언이 출발하는 오전 $9\!:\!00$ 에는 이미 $30$ 분 동안 페달을 밟아 온 상태입니다.
💡 두 사람의 화살표를 서로 마주 보게 그리면 "간격이 좁혀지는" 그림이 됩니다. 4학년 "여러 단계 문장제" 가 그대로 통하는 모양입니다.
5.MD.A.1 단계 2 - 캐시의 선행 시간을 시간 단위로 바꾸고 마일로 환산합니다.
- 속력의 단위가 mph 이므로 시간을 시간 단위로 맞춰야 합니다 — $30 \text{ 분} = \tfrac{1}{2} \text{ 시간}$.
- 속력 $\times$ 시간을 계산하면 브라이언이 출발하기 전에 캐시가 이동한 거리가 나옵니다.
💡 5학년 단위 변환 — 분을 시간으로 바꾸면 "hr" 단위가 약분되어 문제에 필요한 마일이 그대로 남습니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 오전 $9\!:\!00$ 시점의 간격과 두 사람의 합산 속력을 구합니다.
- 캐시가 $6$ 마일을 앞서 가 있으므로 남은 간격은 $62 - 6 = 56$ 마일입니다.
- 두 사람이 서로를 향해 달리므로, 매 시간 줄어드는 간격은 두 속력의 합과 같습니다.
💡 서로 마주 다가오는 두 사람은 두 속력을 더한 만큼씩 가까워집니다 — 그림 위에서 양쪽 화살표가 안쪽으로 조여 오는 모양 그대로입니다.
6.RP.A.3 단계 4 - 간격을 합산 속력으로 나누면 오전 $9\!:\!00$ 이후 만날 때까지의 시간이 나옵니다.
- 그 시간을 브라이언의 출발 시각에 더해 줍니다.
💡 6학년 비율 사고 — 시간 $=$ 거리 $\div$ 속력. 마일은 약분되고 시간이 남으므로 시각을 묻는 문제의 단위와 정확히 맞습니다.
4.OA.A.3 길과 선행 거리를 그림으로 나타냅니다. 왼쪽에 Escanaba, 오른쪽에 Marquette, 그 사이에 $62$ 마일의 선분을 둡니다. 캐시는 5.MD.A.1 캐시의 선행 시간을 시간 단위로 바꾸고 마일로 환산합니다. 속력의 단위가 mph 이므로 시간을 시간 단위로 맞춰야 합니다 — $30 \text{ 4.OA.A.3 오전 $9\!:\!00$ 시점의 간격과 두 사람의 합산 속력을 구합니다. 캐시가 $6$ 마일을 앞서 가 있으므로 남은 간격은 $62 - 6 = 6.RP.A.3 간격을 합산 속력으로 나누면 오전 $9\!:\!00$ 이후 만날 때까지의 시간이 나옵니다. 그 시간을 브라이언의 출발 시각에 더해 줍니다. 검토
합리성 확인: 오전 $11\!:\!00$ 에 두 사람의 위치를 확인해 봅니다. 캐시는 $2.5$ 시간을 달렸으므로 Escanaba 에서 $12 \times 2.5 = 30$ 마일 떨어진 곳에 있고, 브라이언은 $2$ 시간을 달렸으므로 Marquette 에서 $16 \times 2 = 32$ 마일 떨어진 곳에 있습니다. 합하면 $30 + 32 = 62$ 마일 — 길이와 정확히 같으니 두 사람이 같은 지점에 있습니다. 다른 선택지는 이 검산을 통과하지 못합니다. 예를 들어 (C) 오전 $10\!:\!30$ 이라면 캐시는 $24$ 마일, 브라이언은 $24$ 마일을 달려 합이 $48 < 62$ 이므로 아직 만나지 못한 상태입니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 오전 $9\!:\!00$ 이후 만날 때까지의 시간을 $t$ 시간이라 합시다. Escanaba 에서 캐시까지의 거리는 $6 + 12t$, Marquette 에서 브라이언까지의 거리는 $16t$ 이고, 두 거리의 합은 $62$ 이어야 합니다 — $6 + 12t + 16t = 62 \Rightarrow 28t = 56 \Rightarrow t = 2$. 만나는 시각은 $9\!:\!00 + 2 = $ 오전 $11\!:\!00$, 즉 (D). 도구 #8 이 단계별로 만들어 낸 식과 같은 식에 도착합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.A.3사칙연산을 사용해 여러 단계의 문장제 문제 해결하기 (선행 거리 $\to$ 남은 간격 $\to$ 합산 속력 $\to$ 만나는 시각의 4단계 계획을 세우고, 단계별 계산 결과를 하나의 답으로 합치는 데 사용.)5.MD.A.1같은 측정 체계 안에서 크기가 다른 표준 단위 사이 변환하기 (캐시 속력의 단위(mph) 와 맞추기 위해 $30$ 분을 $\tfrac{1}{2}$ 시간으로 환산하는 데 사용.)6.RP.A.3비율과 비례 사고를 이용해 실생활 및 수학 문제 해결하기 (속력을 "시간당 이동 거리" 라는 비율로 다루어 $\tfrac{56\,\text{mi}}{28\,\text{mph}} = 2$ 시간을 구하는 데 사용.)
⭐ 두 사람이 서로를 향해 움직일 때는 선행 거리를 먼저 떼어 내고, 남은 간격을 두 속력의 합으로 나누면 만나는 시간이 한 번에 나옵니다.
⭐ 두 사람이 서로를 향해 움직일 때는 선행 거리를 먼저 떼어 내고, 남은 간격을 두 속력의 합으로 나누면 만나는 시간이 한 번에 나옵니다.