AMC 8 · 2014 · #17

학년 6 rate-ratio

ratefraction-arithmeticunit-conversion identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratefraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

조지(George)는 학교까지 $1$ 마일을 걸어갑니다. 매일 같은 시각에 집을 나서서 시속 $3$ 마일의 일정한 속도로 걸어, 수업 시작에 딱 맞춰 도착합니다. 오늘은 날씨가 좋아 한눈을 파는 바람에 처음 $\frac{1}{2}$ 마일을 시속 $2$ 마일로만 걸었습니다. 오늘도 수업 시작에 딱 맞춰 도착하려면, 조지는 남은 $\frac{1}{2}$ 마일을 시속 몇 마일로 뛰어야 할까요?

$\textbf{(A) }4\qquad\textbf{(B) }6\qquad\textbf{(C) }8\qquad\textbf{(D) }10\qquad \textbf{(E) }12$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 조지는 매일 학교까지 $1$ 마일을 시속 $3$ 마일의 일정한 속도로 걸어 정확히 등교 시각에 도착합니다. 오늘은 처음 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 시속 $2$ 마일로만 걸었습니다. 평소와 같은 시각에 도착하려면 남은 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 시속 몇 마일(mph)로 뛰어야 할까요?

주어진 것: 학교까지의 전체 거리 $= 1$ 마일; 평소 일정 속도 $= 3$ mph (항상 제시간에 도착); 오늘: 처음 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 $2$ mph로 걸음; 남은 거리 $= \tfrac{1}{2}$ 마일; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$ (mph)

구하는 것: 평소와 같은 시각에 도착하기 위해 마지막 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 뛰어야 하는 속력(mph)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

$\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 을 쓰는 전형적인 비율(rate) 문제입니다. 핵심은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 여정을 평소 전체 구간(시간 예산을 줌), 느린 전반($\tfrac{1}{2}$ 마일, 이미 쓴 시간), 빠른 후반($\tfrac{1}{2}$ 마일, 구할 값) 세 조각으로 나눕니다. 각 조각이 풀리면 뺄셈으로 남은 시간을 구하고 한 번 더 $\text{속력} = \text{거리} / \text{시간}$ 을 적용하면 끝입니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 모든 양을 마일·시간으로 유지해서 최종 답이 자동으로 mph가 되게 합니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

시간 예산을 구합니다.
평소 등굣길은 $3$ mph로 $1$ 마일이므로, 전체 일정은 $\tfrac{1}{3}$ 시간(= $20$ 분)을 허락합니다.

$$T_{\text{전체}} = \dfrac{1 \text{ 마일}}{3 \text{ mph}} = \tfrac{1}{3} \text{ 시간} = 20 \text{ 분}$$

💡 거리를 속력으로 나누면 시간이 나옵니다 — 일정표를 분 단위로 고정시키는 6학년 단위율 이동입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

느린 전반에서 이미 쓴 시간을 구합니다.
$2$ mph로 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 걸었으므로 $\tfrac{1/2}{2} = \tfrac{1}{4}$ 시간, 즉 $15$ 분이 걸렸습니다.

$$T_{\text{전반}} = \dfrac{1/2 \text{ 마일}}{2 \text{ mph}} = \tfrac{1}{4} \text{ 시간} = 15 \text{ 분}$$

💡 같은 "거리 $\div$ 속력" 꼴을 첫 번째 작은 문제에 적용한 것뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

후반에 남은 시간을 뺄셈으로 구합니다.
$\tfrac{1}{3}$ 시간 예산에서 이미 $\tfrac{1}{4}$ 시간이 지나갔으므로 남은 시간은 $\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4}$ 시간입니다.
공통분모 $12$ 로 통분합니다.

$$T_{\text{남음}} = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{4}{12} - \tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{12} \text{ 시간} = 5 \text{ 분}$$

💡 분모가 다른 분수의 뺄셈($\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4}$)은 정확히 5학년 분수 표준 그대로입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

남은 반 마일 구간에 $\text{속력} = \text{거리} / \text{시간}$ 을 적용합니다.
거리는 $\tfrac{1}{2}$ 마일, 시간은 $\tfrac{1}{12}$ 시간이고, $\tfrac{1}{12}$ 로 나누는 것은 $12$ 를 곱하는 것과 같습니다.

$$\text{속력} = \dfrac{1/2 \text{ 마일}}{1/12 \text{ 시간}} = \tfrac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ mph} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 거리와 시간으로부터 "시속 마일" 단위율을 구하는 것은 6학년 비율 추론입니다.

[1] #7 6.RP.A.3 시간 예산을 구합니다. 평소 등굣길은 $3$ mph로 $1$ 마일이므로, 전체 일정은 $\tfrac{1}{3}$ 시간(= $20$ 분)을 허락합

[2] #7 6.RP.A.3 느린 전반에서 이미 쓴 시간을 구합니다. $2$ mph로 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 걸었으므로 $\tfrac{1/2}{2} = \tfra

[3] #7 5.NF.A.1 후반에 남은 시간을 뺄셈으로 구합니다. $\tfrac{1}{3}$ 시간 예산에서 이미 $\tfrac{1}{4}$ 시간이 지나갔으므로 남은 시간은

[4] #8 6.RP.A.3 남은 반 마일 구간에 $\text{속력} = \text{거리} / \text{시간}$ 을 적용합니다. 거리는 $\tfrac{1}{2}$ 마일,

검토

합리성 확인: 평균 속도로 검산해 봅니다. 같은 거리($\tfrac{1}{2}$ 마일) 를 $2$ mph 와 $6$ mph 로 나눠 갔으므로, 평균 속도는 조화평균 $\dfrac{2 \cdot 2 \cdot 6}{2 + 6} = \dfrac{24}{8} = 3$ mph — 평소 속도와 정확히 같습니다. 오늘의 총 시간이 평소 총 시간과 일치한다는 뜻이니 (B) $6$ mph 가 맞습니다. (A) $4$ 라면 $\tfrac{1/2}{4} = \tfrac{1}{8}$ 시간 $= 7.5$ 분으로, $5$ 분 예산을 넘겨 늦습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 후보 $v$ mph 는 $\tfrac{1}{2}$ 마일을 $\tfrac{1/2}{v} = \tfrac{1}{2v}$ 시간에 주파합니다. 이 값이 $\tfrac{1}{12}$ 시간과 같아야 하므로 $2v = 12 \Rightarrow v = 6$. (B) 만 만족하고, 나머지는 $\tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{16}, \tfrac{1}{20}, \tfrac{1}{24}$ 시간으로 모두 $\tfrac{1}{12}$ 와 맞지 않습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (남은 시간 $\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12}$ 시간을 공통분모 $12$ 로 통분하여 계산.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (평소 등굣길($\tfrac{1}{3}$ 시간) 과 느린 전반($\tfrac{1}{4}$ 시간) 의 시간 $= $ 거리 $/$ 속력 계산, 그리고 최종 속력 $= (1/2) / (1/12) = 6$ mph 산출에 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론(거리·시간·속력) 과 5학년 분수 뺄셈 한 번이면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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