AMC 8 · 2007 · #19
학년 6 number-theory문제
Pick two consecutive positive integers whose sum is less than . Square both
of those integers and then find the difference of the squares. Which of the
following could be the difference?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 합이 $100$ 보다 작은 연속된 두 양의 정수를 고릅니다. 두 수를 각각 제곱하고 큰 제곱에서 작은 제곱을 뺀 값이 다음 보기 중 어느 것일 수 있을까요?
주어진 것: 연속된 두 양의 정수 $n$ 과 $n+1$; 두 수의 합은 $n + (n+1) < 100$ 을 만족; 구하는 값은 $(n+1)^2 - n^2$; 선택지: (A) $2$, (B) $64$, (C) $79$, (D) $96$, (E) $131$
구하는 것: 조건을 만족하는 $n$ 이 존재해서 $(n+1)^2 - n^2$ 의 값이 될 수 있는 보기
이해
문제 재정리: 합이 $100$ 보다 작은 연속된 두 양의 정수를 고릅니다. 두 수를 각각 제곱하고 큰 제곱에서 작은 제곱을 뺀 값이 다음 보기 중 어느 것일 수 있을까요?
주어진 것: 연속된 두 양의 정수 $n$ 과 $n+1$; 두 수의 합은 $n + (n+1) < 100$ 을 만족; 구하는 값은 $(n+1)^2 - n^2$; 선택지: (A) $2$, (B) $64$, (C) $79$, (D) $96$, (E) $131$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
제곱해서 빼라니 무거워 보이지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 가장 작은 쌍부터 직접 계산해 보면 됩니다. 결과가 깔끔한 규칙으로 정렬되니까 그게 바로 도구 #5(패턴 찾기) — 연속된 두 정수의 제곱의 차는 두 수의 합과 같아서, 항상 홀수이고 $100$ 보다 작아야 합니다. 그러면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 "홀수이고 $100$ 보다 작다" 조건에 안 맞는 보기를 전부 지웁니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기) 까지 갈 필요 없이, 작은 케이스의 패턴만으로 결정됩니다.
실행 — 정답: C
6.EE.A.1 단계 1 - 연속된 작은 쌍부터 제곱의 차를 직접 구합니다.
- 도구 #9 는 구조가 드러날 때까지 문제를 줄이라고 말하죠.
💡 제곱이 부담스럽지만 작은 쌍으로 줄이면 계산이 가벼워지고 구조가 바로 드러납니다.
6.EE.A.3 단계 2 - 패턴이 보입니다.
- 결과 $3, 5, 7, 9, \dots$ 는 그대로 홀수의 나열이고, 각 값이 두 수의 합과 정확히 같아요: $1+2=3$, $2+3=5$, $3+4=7$, $4+5=9$.
- 즉 연속된 두 정수의 제곱의 차는 두 수의 합과 같습니다.
💡 어떤 $n$ 을 넣어도 답은 항상 $2n + 1$ — 홀수, 그리고 $n + (n+1)$ 그 자체입니다.
6.NS.B.4 단계 3 - 패턴에서 두 가지 필터를 뽑아냅니다.
- 첫째, $2n + 1$ 은 항상 홀수.
- 둘째, 문제에서 합 $2n + 1$ 이 $100$ 보다 작다고 했어요.
- 따라서 제곱의 차는 "$100$ 보다 작은 홀수" 여야 합니다.
💡 $2n$ 은 짝수이고 거기에 $1$ 을 더하면 항상 홀수. 그리고 $2n+1 < 100$ 은 문제의 "합이 $100$ 보다 작다" 조건 그대로입니다.
6.EE.B.5 단계 4 - 두 필터를 보기에 적용합니다(도구 #3).
- $2$, $64$, $96$ 은 짝수 — 탈락.
- $131$ 은 홀수이지만 $99$ 보다 큼 — 탈락.
- $79$ 만 "홀수" + "$100$ 미만" 을 통과합니다.
💡 "홀수인가? $100$ 보다 작은가?" 단 두 번의 확인으로 네 보기가 한꺼번에 지워집니다.
6.EE.B.7 단계 5 - $79$ 가 진짜로 만들어지는지 짝을 직접 찾습니다.
- $2n + 1 = 79$ 에서 $n = 39$.
- 짝 $39, 40$ 의 합은 $79 < 100$, 그리고 $40^2 - 39^2 = 1600 - 1521 = 79$.
- 답은 (C).
💡 실제 짝 $(39, 40)$ 을 제시하면 "아직 안 지워진" 정도가 아니라 "진짜 만들어진다" 가 확정됩니다.
6.EE.A.1 연속된 작은 쌍부터 제곱의 차를 직접 구합니다. 도구 #9 는 구조가 드러날 때까지 문제를 줄이라고 말하죠. 6.EE.A.3 패턴이 보입니다. 결과 $3, 5, 7, 9, \dots$ 는 그대로 홀수의 나열이고, 각 값이 두 수의 합과 정확히 같아요: $1+2=3$, 6.NS.B.4 패턴에서 두 가지 필터를 뽑아냅니다. 첫째, $2n + 1$ 은 항상 홀수. 둘째, 문제에서 합 $2n + 1$ 이 $100$ 보다 작다고 했어 6.EE.B.5 두 필터를 보기에 적용합니다(도구 #3). $2$, $64$, $96$ 은 짝수 — 탈락. $131$ 은 홀수이지만 $99$ 보다 큼 — 탈락. 6.EE.B.7 $79$ 가 진짜로 만들어지는지 짝을 직접 찾습니다. $2n + 1 = 79$ 에서 $n = 39$. 짝 $39, 40$ 의 합은 $79 < 1 검토
합리성 확인: 제곱의 차 공식으로 다시 확인합시다: $(n+1)^2 - n^2 = (n+1+n)(n+1-n) = (2n+1)(1) = 2n+1$. 즉 제곱의 차는 두 수의 합과 같고, 문제 조건상 그 합은 $100$ 보다 작으며, 연속된 두 정수 중 하나는 짝수·하나는 홀수이므로 합은 항상 홀수입니다. 보기 중 $100$ 보다 작은 홀수는 $79$ 뿐이고, 짝 $39, 40$ 이 실제로 그 값을 만들어 줍니다. 답 (C) 가 일관됩니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만 단독으로: $(n+1)^2 - n^2 = (n+1+n)(n+1-n) = 2n+1$ 로 인수분해 한 번이면 "제곱의 차 = 두 수의 합" 이 바로 보입니다. 문제가 그 합을 $100$ 보다 작게 제한하고, 연속된 두 정수의 합은 항상 홀수이므로 짝수인 $2, 64, 96$ 과 너무 큰 $131$ 이 일제히 탈락, (C) $79$ 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수치 식을 쓰고 계산하기 ($2^2 - 1^2$, $3^2 - 2^2$ 등 작은 쌍의 제곱의 차를 계산해 패턴을 드러내는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 이용해 동등한 식 만들기 ($(n+1)^2 - n^2$ 을 $2n + 1$ 로 다시 써서 "두 수의 합" 과 같다는 것을 확인.)6.NS.B.4공약수·공배수를 찾고 홀수와 짝수를 구분하기 ($2n + 1$ 이 항상 홀수임을 근거로 짝수 보기 세 개를 일괄 제거.)6.EE.B.5방정식이나 부등식을 푸는 것은 어떤 값이 식을 참으로 만드는지 답하는 과정임을 이해하기 (각 보기를 "홀수" + "$100$ 미만" 조건에 대입해 가능한 값을 가려내는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$, $px = q$ 형태의 방정식을 세워 풀기 ($2n + 1 = 79$ 를 풀어 $n = 39$ 라는 실제 짝을 찾고 $79$ 가 정말 만들어짐을 확인.)
⭐ 연속된 두 정수의 제곱의 차는 그냥 두 수의 합 — 항상 홀수이고, 여기서는 $100$ 보다 작아야 해요. 이 한 가지 사실로 네 보기가 떨어지고 (C) $79$ 가 남습니다.
⭐ 연속된 두 정수의 제곱의 차는 그냥 두 수의 합 — 항상 홀수이고, 여기서는 $100$ 보다 작아야 해요. 이 한 가지 사실로 네 보기가 떨어지고 (C) $79$ 가 남습니다.