AMC 8 · 2007 · #24
학년 7 probability문제
A bag contains four pieces of paper, each labeled with one of the digits , , or , with no repeats. Three of these pieces are drawn, one at a time without replacement, to construct a three-digit number. What is the probability that the three-digit number is a multiple of ?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 주머니에 $1$, $2$, $3$, $4$ 이 하나씩 적힌 종이 네 장이 들어 있습니다. 한 번에 한 장씩, 다시 넣지 않고 세 장을 뽑아 뽑은 순서대로 세 자리 수를 만듭니다. 이 세 자리 수가 $3$ 의 배수일 확률을 구하세요.
주어진 것: 주머니에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$ 가 하나씩 들어 있다; 세 장을 한 번에 한 장씩, 다시 넣지 않고 뽑는다; 뽑힌 순서대로 읽어 세 자리 수를 만든다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
구하는 것: 만들어진 세 자리 수가 $3$ 의 배수일 확률
이해
문제 재정리: 주머니에 $1$, $2$, $3$, $4$ 이 하나씩 적힌 종이 네 장이 들어 있습니다. 한 번에 한 장씩, 다시 넣지 않고 세 장을 뽑아 뽑은 순서대로 세 자리 수를 만듭니다. 이 세 자리 수가 $3$ 의 배수일 확률을 구하세요.
주어진 것: 주머니에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$ 가 하나씩 들어 있다; 세 장을 한 번에 한 장씩, 다시 넣지 않고 뽑는다; 뽑힌 순서대로 읽어 세 자리 수를 만든다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 셀 대상 바꾸기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
순서가 있는 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 가지 뽑기 결과를 일일이 세도 되지만, 자리 숫자 합 규칙에 따르면 $3$ 의 배수 여부는 어떤 숫자가 뽑혔는지만 결정합니다 — 순서는 상관없죠. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 셈의 대상을 $24$ 개의 순서 있는 수에서 $\{1,2,3,4\}$ 의 크기 $3$ 인 부분집합 $4$ 개로 바꿉니다. 각 부분집합은 $3! = 6$ 가지 순서로 펼쳐지므로 똑같이 일어날 확률을 가집니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 부분집합을 차례로 적고 각각의 자리 숫자 합이 $3$ 의 배수인지 확인합니다. 넷 중 둘이 통과하므로 확률은 $\tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$.
실행 — 정답: C
4.OA.B.4 단계 1 - 이 문제는 자리 숫자의 합에만 달려 있음을 먼저 짚습니다.
- $3$ 의 배수 판정 규칙에 따라, 어떤 수가 $3$ 의 배수이려면 각 자리 숫자의 합이 $3$ 의 배수여야 합니다.
- 같은 세 숫자를 어떻게 배열해도 합은 변하지 않으므로 $3$ 의 배수 여부도 그대로입니다.
💡 4학년 "인수와 배수" 단원의 자리 숫자 합 규칙입니다. 같은 세 숫자를 섞어도 합이 같으니, 한 부분집합 안에서는 여섯 가지 배열이 모두 같은 운명을 갖습니다.
7.SP.C.7 단계 2 - 순서 있는 $24$ 개를 세는 대신 순서 없는 부분집합 $4$ 개를 세는 쪽으로 바꿉니다.
- $\{1,2,3,4\}$ 에서 세 숫자를 고르는 방법은 $\binom{4}{3} = 4$ 가지이고, 대칭성으로 인해 네 부분집합은 같은 확률을 가집니다.
- 따라서 확률 = (좋은 부분집합 수)$/4$.
💡 각 부분집합은 똑같이 $3! = 6$ 가지 순서로 나오므로 $24$ 개의 순서 있는 결과가 정확히 $6$ 개씩 네 묶음으로 나뉩니다. 한 묶음 안에서는 여섯 결과의 $3$ 의 배수 여부가 모두 같습니다.
7.SP.C.8 단계 3 - $\{1,2,3,4\}$ 의 크기 $3$ 인 부분집합 네 개를 순서대로 적고 각각의 합을 계산합니다.
- 합이 $3$ 의 배수면 "좋은" 부분집합입니다.
💡 빠진 숫자 순(빠진 수 = $4, 3, 2, 1$)으로 적으면 빠뜨림 없이 정확히 네 번 적히고, 합 $6$ 과 $9$ 두 개만 $3$ 의 배수입니다.
7.SP.C.7 단계 4 - 확률을 정리합니다.
- 네 부분집합 중 두 개가 $3$ 의 배수를 만들고, 네 부분집합은 모두 같은 확률을 갖습니다.
💡 결과들이 같은 확률이면 확률은 곧 "좋은 비율" 입니다. 부분집합의 절반이 통과하므로 답은 $\tfrac{1}{2}$.
4.OA.B.4 이 문제는 자리 숫자의 합에만 달려 있음을 먼저 짚습니다. $3$ 의 배수 판정 규칙에 따라, 어떤 수가 $3$ 의 배수이려면 각 자리 숫자의 7.SP.C.7 순서 있는 $24$ 개를 세는 대신 순서 없는 부분집합 $4$ 개를 세는 쪽으로 바꿉니다. $\{1,2,3,4\}$ 에서 세 숫자를 고르는 방법 7.SP.C.8 $\{1,2,3,4\}$ 의 크기 $3$ 인 부분집합 네 개를 순서대로 적고 각각의 합을 계산합니다. 합이 $3$ 의 배수면 "좋은" 부분집합입 7.SP.C.7 확률을 정리합니다. 네 부분집합 중 두 개가 $3$ 의 배수를 만들고, 네 부분집합은 모두 같은 확률을 갖습니다. 검토
합리성 확인: 순서 있는 수로 직접 세어 교차 검증해 봅시다. 전체 세 자리 수: $4 \times 3 \times 2 = 24$. 좋은 부분집합은 $\{1,2,3\}$ 과 $\{2,3,4\}$ 둘이고 각각 $3! = 6$ 가지 배열을 주므로, 좋은 수는 $6 + 6 = 12$. 확률은 $\tfrac{12}{24} = \tfrac{1}{2}$ 로 (C) 와 일치합니다. 두 셈법이 같은 답을 주는 것은 "부분집합으로 바꿔 세도 된다" 는 점이 정확함을 확인해 줍니다. 결과 $\tfrac{1}{2}$ 도 자연스럽습니다 — 가능한 세 자리 합 $\{6, 7, 8, 9\}$ 중 정확히 두 개가 $3$ 의 배수이기 때문이고, 일반적인 $\tfrac{1}{3}$ 밀도보다 살짝 높은 것은 숫자 $1, 2, 3, 4$ 가 $3$ 근처에 몰려 있어서입니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 그대로: 순서 있는 세 자리 수 $24$ 개를 모두 적고 각각을 $3$ 으로 나눠 보는 방법입니다. 시간이 더 들지만 어린 학습자에게는 좋은 검증이고, $12/24$ 라는 결과를 직접 확인하게 됩니다. 도구 #16 의 지름길은 같은 부분집합에서 나오는 여섯 배열을 하나로 묶어 부분집합 네 개만 세는 것과 같습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.B.4인수와 배수 찾기; 나누어떨어짐의 성질 이용 (4학년의 "자리 숫자의 합으로 $3$ 의 배수 판정" 규칙을 적용해, 문제를 "세 숫자의 합이 $3$ 의 배수인가" 라는 질문으로 바꿉니다.)7.SP.C.7확률 모형을 세우고 사건의 확률 구하기 ($\{1,2,3,4\}$ 의 크기 $3$ 인 네 부분집합을 같은 확률을 가진 결과로 보고, 확률을 "좋은 부분집합 수$/$전체 부분집합 수" 로 읽어내는 데 사용.)7.SP.C.8조직적인 목록·표·나무 그림 등으로 복합 사건의 확률 구하기 (네 부분집합 $\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}$ 를 빠짐없이 적고 각각의 자리 숫자 합을 $3$ 의 배수 판정에 넣어 확인하는 데 사용.)
⭐ $3$ 의 배수 판정은 자리 숫자 합만 보므로, $\{1,2,3,4\}$ 에서 만들 수 있는 세 자리 수 $24$ 개가 아니라 세 숫자 묶음 네 개만 세면 됩니다. 합이 $6$ 과 $9$ 인 두 묶음이 통과하므로 확률은 $\tfrac{1}{2}$.
⭐ $3$ 의 배수 판정은 자리 숫자 합만 보므로, $\{1,2,3,4\}$ 에서 만들 수 있는 세 자리 수 $24$ 개가 아니라 세 숫자 묶음 네 개만 세면 됩니다. 합이 $6$ 과 $9$ 인 두 묶음이 통과하므로 확률은 $\tfrac{1}{2}$.