AMC 8 · 2007 · #4

학년 4 counting

permutations-basicsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

A haunted house has six windows. In how many ways can
Georgie the Ghost enter the house by one window and leave
by a different window?

$\mathrm{(A)}\ 12 \qquad\mathrm{(B)}\ 15 \qquad\mathrm{(C)}\ 18 \qquad\mathrm{(D)}\ 30 \qquad\mathrm{(E)}\ 36$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 유령의 집에 창문이 $6$ 개 있습니다. 유령 조지는 한 창문으로 들어가서 다른 창문으로 나옵니다. 가능한 (들어간 창문, 나온 창문) 쌍은 모두 몇 가지인가요?

주어진 것: 집의 창문은 $6$ 개이고, 각 창문을 서로 구별할 수 있다; 조지는 들어갈 창문 하나와 나올 창문 하나를 고른다; 나오는 창문은 들어간 창문과 달라야 한다; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $30$, (E) $36$

구하는 것: (들어간 창문, 나온 창문) 쌍의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #2 체계적인 목록 만들기

이 여정은 두 개의 작은 문제로 깔끔하게 나뉩니다. 먼저 들어갈 창문을 고르고, 그다음 나올 창문을 고르는 거예요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 각 단계를 따로 세고 곱셈으로 합칩니다. 도구 #2(체계적인 목록 만들기)는 안전장치입니다. 들어간 창문을 한 열에, 나온 창문을 옆 열에 적되 두 창문이 같을 수 없다는 규칙을 두고 몇 줄만 적어 보면, 들어간 창문 하나당 나올 수 있는 창문이 정확히 $5$ 개라는 사실이 보여요. 그래서 $6 \times 5$ 가 총 개수가 됩니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 나누기 3.OA.A.1 단계 1

들어갈 창문의 경우의 수를 셉니다.
조지는 $6$ 개 창문 중 어느 것으로도 들어갈 수 있으므로, 첫 번째 행동의 경우의 수는 $6$ 입니다.

$$\text{들어가는 경우의 수} = 6$$

💡 $6$ 개 중 하나를 고른다 — 첫 번째 행동에서 똑같이 가능한 선택지가 $6$ 개라는 뜻입니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.OA.A.1 단계 2

나올 창문의 경우의 수를 셉니다.
들어간 창문이 정해지면 그 창문 $1$ 개는 빠지므로, 나올 때 쓸 수 있는 창문은 $5$ 개만 남습니다.

$$\text{나오는 경우의 수} = 6 - 1 = 5$$

💡 "다른 창문" 이라는 조건이 정확히 한 창문을 후보에서 빼서 $5$ 개만 남깁니다.

#2 체계적인 목록 만들기 4.OA.A.3 단계 3

두 작은 문제의 결과를 합칩니다.
들어가는 창문 하나마다 가능한 나오는 창문이 $5$ 개씩 짝지어지므로, 두 경우의 수를 곱해서 총 여정의 수를 얻습니다.

$$\text{총 여정의 수} = 6 \times 5 = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 들어간 창문 $6$ 줄 아래에 각각 가능한 나오는 창문 $5$ 개씩 적은 표를 만들면 총 $6 \times 5 = 30$ 줄이 됩니다.

[1] #7 3.OA.A.1 들어갈 창문의 경우의 수를 셉니다. 조지는 $6$ 개 창문 중 어느 것으로도 들어갈 수 있으므로, 첫 번째 행동의 경우의 수는 $6$ 입니다.

[2] #7 3.OA.A.1 나올 창문의 경우의 수를 셉니다. 들어간 창문이 정해지면 그 창문 $1$ 개는 빠지므로, 나올 때 쓸 수 있는 창문은 $5$ 개만 남습니다.

[3] #2 4.OA.A.3 두 작은 문제의 결과를 합칩니다. 들어가는 창문 하나마다 가능한 나오는 창문이 $5$ 개씩 짝지어지므로, 두 경우의 수를 곱해서 총 여정의 수를

검토

합리성 확인: 몇 줄만 직접 적어 봅시다. 조지가 $1$ 번 창문으로 들어가면 나올 수 있는 창문은 $2, 3, 4, 5, 6$ 번 — $5$ 가지입니다. $2, 3, 4, 5, 6$ 번으로 들어가는 경우에도 각각 $5$ 가지씩 나옵니다. $6$ 줄 곱하기 $5$ 가지 해서 $6 \times 5 = 30$. 또 $6 \times 6 = 36$ 은 같은 창문으로 들어가고 나오는 불가능한 경우까지 센 값이므로, 그 $6$ 가지를 빼면 $36 - 6 = 30$ 이 되어 답 (D) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기)로 선택지를 줄여 봅시다. "다른 창문" 규칙이 없다면 $6 \times 6 = 36$, 이는 선택지 (E) 입니다. 같은 창문 경우 $6$ 가지를 빼면 $30$ 이 되니 (E) 는 제외되고 (D) 가 남습니다. (A), (B), (C) 는 $6$ 과 $5$ 두 사건의 곱으로 나오기엔 너무 작은 값이라 곧바로 배제됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 자연수의 곱을 같은 크기의 묶음을 합치는 것으로 해석하기 ($6 \times 5$ 를 "들어가는 창문 하나마다 나올 수 있는 창문 $5$ 개씩, $6$ 묶음" 으로 읽어내는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 풀기 (두 단계의 경우의 수($6$ 가지 들어가는 방법, $5$ 가지 나오는 방법)를 한 번의 곱셈으로 합쳐 총 $30$ 가지를 얻는 데 사용.)

⭐ 순서가 있는 두 행동: 각각 세고 곱한다. 들어가는 창문 $6$ 개 곱하기 남는 창문 $5$ 개로 $30$ — 4학년 여러 단계 곱셈 문제예요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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