AMC 8 · 2008 · #16
학년 6 geometry-3d문제
A shape is created by joining seven unit cubes, as shown. What is the ratio of the volume in cubic units to the surface area in square units?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 단위 정육면체 $7$ 개를 붙여 만든 모양입니다. 가운데 정육면체 한 개의 여섯 면(위·아래·왼쪽·오른쪽·앞·뒤)에 각각 하나씩 정육면체가 붙어 있습니다. 부피(세제곱 단위)와 겉넓이(제곱 단위)의 비를 구하세요.
주어진 것: 정확히 $7$ 개의 단위 정육면체가 사용된다; 단위 정육면체 하나의 부피는 $1$, 단위 정사각형 면 $6$ 개의 넓이는 각각 $1$; 그림에서 한 개가 중앙에 있고, 나머지 $6$ 개는 그 중앙 정육면체의 각 면에 하나씩 붙어 있다; 선택지: (A) $1:6$, (B) $7:36$, (C) $1:5$, (D) $7:30$, (E) $6:25$
구하는 것: (부피) $:$ (겉넓이)
이해
문제 재정리: 단위 정육면체 $7$ 개를 붙여 만든 모양입니다. 가운데 정육면체 한 개의 여섯 면(위·아래·왼쪽·오른쪽·앞·뒤)에 각각 하나씩 정육면체가 붙어 있습니다. 부피(세제곱 단위)와 겉넓이(제곱 단위)의 비를 구하세요.
주어진 것: 정확히 $7$ 개의 단위 정육면체가 사용된다; 단위 정육면체 하나의 부피는 $1$, 단위 정사각형 면 $6$ 개의 넓이는 각각 $1$; 그림에서 한 개가 중앙에 있고, 나머지 $6$ 개는 그 중앙 정육면체의 각 면에 하나씩 붙어 있다; 선택지: (A) $1:6$, (B) $7:36$, (C) $1:5$, (D) $7:30$, (E) $6:25$
계획
주요 도구: #13 체계적으로 세기
보조 도구: #7 작은 문제로 나누기, #15 시각화 · 대칭 이용
도구 #7(작은 문제로 나누기)로 비를 두 개의 깔끔한 세기 문제로 쪼개요 — 부피 먼저, 그다음 겉넓이. 부피는 정육면체 개수 그대로입니다. 겉넓이는 도구 #13(체계적으로 세기)로 $7$ 개의 정육면체 각각에 대해 "여섯 면 중 몇 개가 바깥으로 드러났는가?"를 묻습니다. 도구 #15(시각화 · 대칭 이용)를 더하면 셈이 거의 자동으로 끝나요 — 중앙 정육면체는 여섯 면 모두 가려지고, 대칭에 의해 바깥쪽 여섯 개는 모두 똑같은 상황입니다 — 붙은 면 $1$, 드러난 면 $5$.
실행 — 정답: D
5.MD.C.3 단계 1 - 부피부터.
- 단위 정육면체 하나의 부피는 $1$ 이고 $7$ 개가 있으므로 전체 부피는 $7$ 세제곱 단위입니다.
💡 $5$ 학년에서 부피는 단위 정육면체의 개수로 정의됩니다 — 지금 상황 그대로예요.
6.G.A.4 단계 2 - 겉넓이를 셉니다.
- 정육면체들이 떨어져 있었다면 면의 총수는 $7 \times 6 = 42$.
- 이 모양에는 $6$ 개의 "붙은 자리"가 있고(바깥 정육면체 하나당 중앙 정육면체와 한 면씩 공유), 자리 하나마다 단위 정사각형 $2$ 개가 바깥에서 사라집니다(중앙 쪽 면 하나 + 이웃 쪽 면 하나).
💡 $6$ 학년 겉넓이 풀이의 표준 흐름: 모든 면에서 시작해 맞붙은 면을 빼는 방식.
6.G.A.4 단계 3 - 대칭으로 다시 확인합니다.
- 중앙 정육면체는 여섯 면 모두 이웃과 붙어 있으므로 겉면에 $0$ 을 기여합니다.
- 바깥쪽 $6$ 개 정육면체는 각각 정확히 $1$ 면이 붙어 있고 나머지 $5$ 면이 드러나므로 각각 $5$ 를 기여합니다.
💡 대칭: 바깥쪽 여섯 개는 서로 똑같은 위치이므로 하나만 세어도 충분합니다.
6.RP.A.1 단계 4 - 비를 만듭니다.
- 부피와 겉넓이의 비는 $7$ 대 $30$.
- $\gcd(7, 30) = 1$ 이므로 $\dfrac{7}{30}$ 은 이미 기약 분수이고, 비도 더 줄어들지 않습니다.
💡 $6$ 학년 비 표현: 두 총량을 짝지어 $a : b$ 로 적습니다.
5.MD.C.3 부피부터. 단위 정육면체 하나의 부피는 $1$ 이고 $7$ 개가 있으므로 전체 부피는 $7$ 세제곱 단위입니다. 6.G.A.4 겉넓이를 셉니다. 정육면체들이 떨어져 있었다면 면의 총수는 $7 \times 6 = 42$. 이 모양에는 $6$ 개의 "붙은 자리"가 있고(바깥 6.G.A.4 대칭으로 다시 확인합니다. 중앙 정육면체는 여섯 면 모두 이웃과 붙어 있으므로 겉면에 $0$ 을 기여합니다. 바깥쪽 $6$ 개 정육면체는 각각 6.RP.A.1 비를 만듭니다. 부피와 겉넓이의 비는 $7$ 대 $30$. $\gcd(7, 30) = 1$ 이므로 $\dfrac{7}{30}$ 은 이미 기약 분 검토
합리성 확인: 정육면체 한 개로 검산해 봅시다. 부피 $1$, 겉넓이 $6$, 비 $1:6$ — 선택지 (A). 두 개를 붙이면 부피는 $2$ 로 늘지만 겉면은 $6 + 6 - 2 = 10$ 만큼만 드러나서 비가 커집니다. 새 정육면체를 하나 붙일 때마다 부피는 $+1$, 겉넓이는 $+4$ ($5$ 면이 새로 드러나고 $1$ 면이 가려짐). $1:6$ 에서 시작해 같은 방식으로 $6$ 개를 더 붙이면 부피 $1 + 6 = 7$, 겉넓이 $6 + 6 \times 4 = 30$ 으로 (D) 와 정확히 맞습니다. (A) $1:6$ 과 (B) $7:36$ 은 맞붙은 면이 가려진다는 사실을 잊은 답이고, (C) $1:5$ 는 정육면체 한 개에서 한 면만 가린 값이지 이 모양의 답이 아닙니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기 · 좌표 사용): 중앙 정육면체를 원점에 두고 이웃을 $(\pm 1, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0)$, $(0, 0, \pm 1)$ 에 놓습니다. 각 단위 정사각형 면에 대해 "맞은편 자리에도 정육면체가 있는가?"를 묻습니다. 있으면 "안쪽", 없으면 "바깥". 안쪽 짝은 각 좌표축 방향마다 하나씩, 총 $6$ 쌍. 따라서 바깥 면은 $42 - 12 = 30$ 개로 같은 답 (D) $7 : 30$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.MD.C.3입체도형의 속성으로서 부피를 인식하고 부피 측정 개념 이해 (단위 정육면체 $7$ 개를 세어 전체 부피 $7$ 세제곱 단위를 얻는 데 사용.)6.G.A.4직사각형과 삼각형으로 이루어진 전개도로 입체도형을 나타내고 전개도를 이용해 겉넓이 구하기 ($7$ 개 정육면체로 이루어진 모양에서 바깥으로 드러난 단위 정사각형 면을 세어 겉넓이 $30$ 제곱 단위를 얻는 데 사용.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 (부피와 겉넓이를 짝지어 $7 : 30$ 의 비로 표현하는 데 사용.)
⭐ 부피는 정육면체 개수, 겉넓이는 드러난 면 개수 — 두 정육면체가 맞붙으면 단위 정사각형 정확히 $2$ 개가 가려진다는 점만 알면, 3차원 AMC 8 문제도 깔끔한 $6$ 학년 비 문제가 됩니다.
⭐ 부피는 정육면체 개수, 겉넓이는 드러난 면 개수 — 두 정육면체가 맞붙으면 단위 정사각형 정확히 $2$ 개가 가려진다는 점만 알면, 3차원 AMC 8 문제도 깔끔한 $6$ 학년 비 문제가 됩니다.
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