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AMC 8 · 2008 · #17

학년 4 geometry-2d
유형 Small-Domain Constrained Search
area-rectanglesperimetersystematic-enumerationoptimization-counting systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesperimeter
📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제

Ms.Osborne asks each student in her class to draw a rectangle with integer side lengths and a perimeter of 5050 units. All of her students calculate the area of the rectangle they draw. What is the difference between the largest and smallest possible areas of the rectangles?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
76
(B)
120
(C)
128
(D)
132
(E)
136
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 각 학생은 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 $50$ 인 직사각형을 그립니다. 그리고 그 넓이를 계산합니다. 가능한 가장 큰 넓이와 가장 작은 넓이의 차이는 얼마인가요?

주어진 것: 직사각형의 변의 길이는 정수이다; 둘레는 $50$ 유닛이다; 선택지: (A) $76$, (B) $120$, (C) $128$, (D) $132$, (E) $136$

구하는 것: 가능한 가장 큰 넓이와 가장 작은 넓이의 차이

이해

문제 재정리: 각 학생은 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 $50$ 인 직사각형을 그립니다. 그리고 그 넓이를 계산합니다. 가능한 가장 큰 넓이와 가장 작은 넓이의 차이는 얼마인가요?

주어진 것: 직사각형의 변의 길이는 정수이다; 둘레는 $50$ 유닛이다; 선택지: (A) $76$, (B) $120$, (C) $128$, (D) $132$, (E) $136$

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #2 체계적으로 나열하기

둘레 조건에서 $l + w = 25$ 가 고정됩니다. 그러면 넓이 $l \times w$ 는 $25$ 를 두 양의 정수로 어떻게 가르느냐에 따라 달라져요. 합이 정해진 두 수의 곱의 최댓값과 최솟값을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 핵심입니다 — 두 수가 가장 가까울 때 곱이 가장 크고, 가장 멀 때 가장 작거든요. 도구 #4(변수 도입하기)로 변의 길이에 $l$, $w$ 라는 이름을 붙이고, 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 양 끝 쌍을 확인하면 극단값이 맞는지 점검할 수 있습니다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 3.MD.D.8 단계 1
  • 변에 이름을 붙이고 둘레 조건을 간단한 합으로 바꿉니다.
  • 길이를 $l$, 너비를 $w$ 라 합시다.
  • 둘레는 $2(l+w)=50$, 즉 $l+w=25$.
  • 둘 다 양의 정수여야 합니다.
$$2(l + w) = 50 \;\Rightarrow\; l + w = 25,\; l,w \in \{1,2,3,\dots\}$$

💡 직사각형 둘레 $P = 2(l+w)$ 는 3학년 둘레 단원 그대로입니다. 양변을 $2$ 로 나누면 단순한 합 조건이 됩니다.

#14 극단의 원리 3.MD.C.7 단계 2
  • 합이 고정된 곱에 극단의 원리를 적용합니다.
  • $l + w = 25$ 가 고정이므로 $w = 25 - l$ 로 두면 넓이는 $A = l(25-l)$.
  • $l$ 이 가운데($12$ 나 $13$)에서 양 끝($1$ 이나 $24$)으로 갈수록 두 인수가 멀어지고 곱은 작아집니다.
  • 곱은 두 인수가 가장 가까울 때 가장 큽니다.
$A(l) = l \times (25 - l)$; $|l-w|$ 가 작을수록 크고, 클수록 작다.

💡 직사각형의 넓이는 가로 $\times$ 세로(3학년). $25$ 의 정수 분할 중 가장 가까운 쌍은 $(12,13)$, 가장 먼 쌍은 $(1,24)$.

#2 체계적으로 나열하기 3.MD.C.7 단계 3
  • 양 끝 경우를 나열하고 계산합니다.
  • $(12,13)$ 이 가장 큰 넓이, $(1,24)$ 가 가장 작은 넓이.
  • 정수 쌍 목록을 훑어 보면 그 사이 값들은 모두 이 두 극단 사이에 있음을 확인할 수 있습니다.
$l \le w$ 인 쌍 $(l,w)$: $(1,24),(2,23),\dots,(12,13)$. 가장 큰 넓이: $12 \times 13 = 156$. 가장 작은 넓이: $1 \times 24 = 24$.

💡 쌍을 나열하면 흐름이 보입니다: 두 변의 차가 줄어들수록 곱은 $24, 46, 66, \dots$ 로 커지다가 $(12,13)$ 에서 $156$ 으로 최대가 됩니다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 4

묻는 차이를 뺄셈으로 구합니다.

$$156 - 24 = 132 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 여러 단계 문장제는 마지막에 뺄셈 한 번으로 마무리됩니다(4학년): 최대 넓이 빼기 최소 넓이.

[1] #4 3.MD.D.8 변에 이름을 붙이고 둘레 조건을 간단한 합으로 바꿉니다. 길이를 $l$, 너비를 $w$ 라 합시다. 둘레는 $2(l+w)=50$, 즉 $l+w=
[2] #14 3.MD.C.7 합이 고정된 곱에 극단의 원리를 적용합니다. $l + w = 25$ 가 고정이므로 $w = 25 - l$ 로 두면 넓이는 $A = l(25-l)
[3] #2 3.MD.C.7 양 끝 경우를 나열하고 계산합니다. $(12,13)$ 이 가장 큰 넓이, $(1,24)$ 가 가장 작은 넓이. 정수 쌍 목록을 훑어 보면 그 사
[4] #14 4.OA.A.3 묻는 차이를 뺄셈으로 구합니다.

검토

합리성 확인: 답 $132$ 는 선택지 (D) 와 일치합니다. 흐름을 중간값으로도 점검해 봅시다: $(10,15)$ 은 $150$, $(11,14)$ 는 $154$, $(12,13)$ 은 $156$ — 두 변이 가까워질수록 곱이 커지고, $25$ 가 홀수라 $l=w$ 인 경우는 없습니다. 반대쪽 끝에서는 $(1,24)=24$, $(2,23)=46$ 으로 가장 치우친 쌍에서 넓이가 가장 작습니다. 따라서 $156-24=132$ 가 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #3(방정식 세우기): $w = 25 - l$ 을 $A = lw$ 에 대입하면 $A(l) = 25l - l^2 = -(l - 12.5)^2 + 156.25$. 위로 볼록인 포물선이고 꼭짓점이 $l=12.5$ 이므로 정수 최대는 $l=12$ 또는 $13$ 에서(둘 다 $156$), 정수 최소는 $1 \le l \le 24$ 의 양 끝 $l=1$ 또는 $24$ 에서(둘 다 $24$). 차이는 다시 $156-24=132$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 3.MD.D.8 다각형의 둘레와 관련된 실생활·수학 문제 해결 ($P = 2(l+w) = 50$ 을 이용해 조건을 정수 변에 대한 $l + w = 25$ 로 줄이는 데 사용.)
  • 3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈의 연산과 연결하기 (넓이를 $A = l \times w$ 로 쓰고 $12 \times 13 = 156$, $1 \times 24 = 24$ 를 계산하는 데 사용.)
  • 4.OA.A.3 사칙연산을 활용한 자연수의 여러 단계 문장제 해결 (둘레 조건 세우기, 극단 경우 찾기, 마지막 뺄셈 $156 - 24 = 132$ 를 한 흐름의 여러 단계 문장제로 묶는 데 사용.)

⭐ 두 자연수의 합이 정해져 있을 때, 두 수가 서로 가까울수록 곱이 크고, 서로 멀수록 곱이 작아요.

⭐ 두 자연수의 합이 정해져 있을 때, 두 수가 서로 가까울수록 곱이 크고, 서로 멀수록 곱이 작아요.

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