AMC 8 · 2008 · #6
학년 6 geometry-2d문제
In the figure, what is the ratio of the area of the gray squares to the area of the white squares?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 큰 기울어진 정사각형(마름모)이 변에 평행한 직선들에 의해 똑같은 크기의 작은 기울어진 정사각형 여러 개로 나뉘어 있습니다. 그중 일부는 회색으로 칠해져 있고 나머지는 흰색입니다. 회색 영역의 넓이와 흰색 영역의 넓이의 비를 구하세요.
주어진 것: 큰 마름모는 변에 평행한 직선들에 의해 똑같은 작은 기울어진 정사각형들의 격자로 나뉘어 있다; 회색 영역은 세 곳: 가운데 $2 \times 2$ 회색 블록, 맨 왼쪽 회색 한 칸, 맨 오른쪽 회색 한 칸; 그 외의 작은 기울어진 정사각형은 모두 흰색이다; 선택지: (A) $3:10$, (B) $3:8$, (C) $3:7$, (D) $3:5$, (E) $1:1$
구하는 것: (회색 영역 넓이) $:$ (흰색 영역 넓이) 의 비
이해
문제 재정리: 큰 기울어진 정사각형(마름모)이 변에 평행한 직선들에 의해 똑같은 크기의 작은 기울어진 정사각형 여러 개로 나뉘어 있습니다. 그중 일부는 회색으로 칠해져 있고 나머지는 흰색입니다. 회색 영역의 넓이와 흰색 영역의 넓이의 비를 구하세요.
주어진 것: 큰 마름모는 변에 평행한 직선들에 의해 똑같은 작은 기울어진 정사각형들의 격자로 나뉘어 있다; 회색 영역은 세 곳: 가운데 $2 \times 2$ 회색 블록, 맨 왼쪽 회색 한 칸, 맨 오른쪽 회색 한 칸; 그 외의 작은 기울어진 정사각형은 모두 흰색이다; 선택지: (A) $3:10$, (B) $3:8$, (C) $3:7$, (D) $3:5$, (E) $1:1$
계획
주요 도구: #16 구조 이용하기 / 다시 보기
보조 도구: #13 경우의 수 세기
핵심은 도구 #16(구조 이용하기) 입니다. 회색 영역 세 덩어리를 따로따로 보지 말고, 그림 전체를 $4 \times 4$ 작은 타일 격자로 다시 보세요. 그렇게 보면 모든 영역이 "몇 개의 타일"이라는 단순한 형태가 됩니다. 그 다음은 도구 #13(경우의 수 세기) — 회색 타일을 세고, 전체에서 빼서 흰색 타일을 구하고, 비로 정리하면 끝입니다.
실행 — 정답: D
3.MD.C.6 단계 1 - 그림을 $45^\circ$ 기울어진 $4 \times 4$ 격자로 다시 봅니다.
- 큰 마름모 안의 직선들은 모두 마름모의 변에 평행하여 마름모를 똑같은 작은 기울어진 정사각형 $16$ 개로 나눕니다.
- 작은 정사각형 한 개의 넓이를 $1$ 단위로 잡습니다.
💡 3학년 "단위 넓이로 넓이 재기": 똑같은 타일로 빈틈없이 덮인 도형의 넓이는 그냥 타일 개수입니다.
3.OA.D.8 단계 2 - 회색 타일 수를 셉니다.
- 가운데 회색 영역은 $2 \times 2$ 타일 블록이므로 $4$ 개.
- 맨 왼쪽 작은 회색 마름모는 타일 $1$ 개, 맨 오른쪽 작은 회색 마름모도 타일 $1$ 개.
💡 3학년 여러 단계 문제: 회색 부분 각각의 개수를 더해 전체 회색 개수를 얻습니다.
3.OA.D.8 단계 3 - 흰색 타일 수는 전체에서 회색을 빼서 구합니다.
- 모든 타일은 회색 아니면 흰색이므로, 회색을 빼고 남은 것이 곧 흰색입니다.
💡 "나머지" 는 전체에서 부분을 빼는 가장 기본적인 한 수.
6.RP.A.1 단계 4 - 회색 넓이 대 흰색 넓이의 비를 쓰고 약분합니다.
- 타일 한 개의 넓이가 모두 같으므로 넓이의 비는 타일 개수의 비와 같습니다.
- 두 수를 최대공약수 $2$ 로 나누어 가장 간단한 비로 만듭니다.
💡 비는 두 부분을 같은 수로 나누어 줄일 수 있습니다 — 분수 약분과 같은 원리.
3.MD.C.6 그림을 $45^\circ$ 기울어진 $4 \times 4$ 격자로 다시 봅니다. 큰 마름모 안의 직선들은 모두 마름모의 변에 평행하여 마름모를 3.OA.D.8 회색 타일 수를 셉니다. 가운데 회색 영역은 $2 \times 2$ 타일 블록이므로 $4$ 개. 맨 왼쪽 작은 회색 마름모는 타일 $1$ 개, 3.OA.D.8 흰색 타일 수는 전체에서 회색을 빼서 구합니다. 모든 타일은 회색 아니면 흰색이므로, 회색을 빼고 남은 것이 곧 흰색입니다. 6.RP.A.1 회색 넓이 대 흰색 넓이의 비를 쓰고 약분합니다. 타일 한 개의 넓이가 모두 같으므로 넓이의 비는 타일 개수의 비와 같습니다. 두 수를 최대공약 검토
합리성 확인: 확인: 회색 $+$ 흰색 $= 6 + 10 = 16$ 타일로 큰 마름모 전체 타일 수 $4 \times 4 = 16$ 과 정확히 일치합니다. 또 비 $3:5$ 는 회색이 흰색보다 작다는 뜻인데, 그림을 보아도 흰색 면적이 더 크니 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #9(쉬운 경우로 만들기): 작은 타일 한 개의 넓이를 $1$ 로 두고 실제 넓이를 직접 계산해 봅니다. 회색 넓이 $= 6$, 흰색 넓이 $= 10$, 비 $= 6/10 = 3/5$ 이므로 답은 $3:5 = $ (D). 결국 같은 풀이를 "개수" 대신 "넓이" 의 언어로 다시 쓴 것입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.C.6단위 정사각형을 세어 넓이 측정하기 (작은 기울어진 정사각형 한 개를 단위 넓이로 잡아 마름모 전체 넓이를 타일 $16$ 개로 환산하는 데 사용.)3.OA.D.8사칙연산을 사용해 두 단계 이상의 문장제 풀기 ($4 + 1 + 1$ 로 회색 타일 수를 구하고 $16$ 에서 빼서 흰색 타일 수를 구하는 데 사용.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 (회색 대 흰색을 $6:10$ 으로 쓰고 $3:5$ 로 약분하는 데 사용.)
⭐ 도형이 똑같은 타일로 덮여 있으면 넓이 문제는 곧 타일 세기 문제 — 회색 타일을 세고, 남은 것을 세고, 비로 정리하면 끝!
⭐ 도형이 똑같은 타일로 덮여 있으면 넓이 문제는 곧 타일 세기 문제 — 회색 타일을 세고, 남은 것을 세고, 비로 정리하면 끝!
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