AMC 8 · 2009 · #13

학년 7 probability

probability-basicpermutations-basicdivisibility-rules systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A three-digit integer contains one of each of the digits $1$ , $3$ , and $5$ . What is the probability that the integer is divisible by $5$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{5}{6}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 $1$, $3$, $5$ 를 한 번씩만 써서 세 자리 정수를 만듭니다. 이 배열을 무작위로 고를 때, 만들어진 수가 $5$ 로 나누어떨어질 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 사용 가능한 숫자는 정확히 $\{1, 3, 5\}$, 각 숫자는 한 번씩 등장; 수는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리로 이루어진 세 자리 수; 서로 다른 세 자리 배열은 모두 같은 확률로 뽑힘; 선택지: (A) $\tfrac{1}{6}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{5}{6}$

구하는 것: 무작위로 만든 세 자리 수가 $5$ 로 나누어떨어질 확률

이해

계획

주요 도구: #2 체계적으로 목록 만들기

보조 도구: #16 관점 바꾸기

세 숫자의 배열은 $3! = 6$ 가지뿐이라서 도구 #2(체계적으로 목록 만들기) 로 전부 나열하고 조건에 맞는 것만 직접 세면 됩니다 — 공식이 따로 필요 없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 문제를 더 간단히 바라보게 해 줍니다 — 수 전체의 나눗셈을 일일이 확인하는 대신, $5$ 의 배수는 "일의 자리" 만 보면 된다는 사실에 초점을 옮깁니다. 일의 자리에 집중하면 "$6$ 개 배열 중 일의 자리가 $5$ 인 것은 몇 개?" 로 문제가 한 줄로 줄어듭니다.

실행 — 정답: B

#2 체계적으로 목록 만들기 3.OA.A.1 단계 1

$1, 3, 5$ 를 한 번씩 써서 만들 수 있는 모든 세 자리 수를 적습니다.
백의 자리를 먼저 고정하고 나머지 두 자리를 바꿔 가며, 백의 자리 $= 1, 3, 5$ 순서대로 훑으면 빠뜨리거나 중복되지 않습니다.

$\{135,\;153,\;315,\;351,\;513,\;531\}$ — 총 $6$ 개

💡 "백의 자리 $3$ 가지 $\times$ 나머지 배열 $2$ 가지 $= 6$" 은 3학년 곱셈의 의미 그대로입니다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.B.4 단계 2

수 전체에서 "일의 자리" 로 초점을 옮깁니다.
$5$ 의 배수 판정법은 "일의 자리가 $0$ 또는 $5$".
우리가 쓰는 숫자에 $0$ 이 없으므로, 조건에 맞는 배열은 일의 자리가 $5$ 인 것들뿐입니다.

$$5 \text{ 의 배수} \iff \text{일의 자리} \in \{0, 5\} \implies \text{일의 자리} = 5$$

💡 4학년의 $5$ 의 배수 판정법은 마지막 자리만 보면 되니, 백·십의 자리는 신경 쓰지 않아도 됩니다.

#2 체계적으로 목록 만들기 3.OA.A.1 단계 3

위 목록에서 일의 자리가 $5$ 인 수를 표시합니다.
$\{135, 153, 315, 351, 513, 531\}$ 을 훑으면 $5$ 로 끝나는 수는 $135$ 와 $315$ 두 개입니다.

$$\text{조건 만족} = \{135,\;315\} \;\Rightarrow\; \text{개수} = 2$$

💡 일의 자리를 $5$ 로 고정하면 백·십의 자리에 $1$ 과 $3$ 을 배치하는 $2$ 가지 방법이 남습니다.

#2 체계적으로 목록 만들기 7.SP.C.7 단계 4

확률 = (조건 만족 수) $/$ (전체 수) 를 만들고, 분자·분모를 공통 약수 $2$ 로 나누어 약분합니다.

$$P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $6$ 개 배열이 모두 같은 확률이므로, 확률은 그저 "조건을 만족하는 배열의 비율" 입니다.

[1] #2 3.OA.A.1 $1, 3, 5$ 를 한 번씩 써서 만들 수 있는 모든 세 자리 수를 적습니다. 백의 자리를 먼저 고정하고 나머지 두 자리를 바꿔 가며, 백의

[2] #16 4.OA.B.4 수 전체에서 "일의 자리" 로 초점을 옮깁니다. $5$ 의 배수 판정법은 "일의 자리가 $0$ 또는 $5$". 우리가 쓰는 숫자에 $0$ 이 없

[3] #2 3.OA.A.1 위 목록에서 일의 자리가 $5$ 인 수를 표시합니다. $\{135, 153, 315, 351, 513, 531\}$ 을 훑으면 $5$ 로 끝나는

[4] #2 7.SP.C.7 확률 = (조건 만족 수) $/$ (전체 수) 를 만들고, 분자·분모를 공통 약수 $2$ 로 나누어 약분합니다.

검토

합리성 확인: 대칭성으로 빠르게 확인. $1, 3, 5$ 세 숫자는 일의 자리에 올 확률이 똑같습니다. 따라서 특정 숫자(여기서는 $5$) 가 일의 자리에 올 확률은 정확히 $\tfrac{1}{3}$ — 목록으로 센 $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ 과 일치하고 답 (B) 와도 맞습니다. 다른 선택지는 쉽게 배제됩니다: (A) $\tfrac{1}{6}$ 은 조건 만족 배열이 $1$ 개라는 뜻이고, (C)–(E) 는 $3$ 개 이상이어야 하는데 실제로는 $2$ 개뿐입니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 한 줄 풀이도 됩니다. 서로 다른 세 숫자를 무작위로 배열할 때, 각 숫자가 일의 자리에 올 확률은 똑같이 $\tfrac{1}{3}$. $5$ 의 배수가 되려면 일의 자리가 $5$ 여야 하므로 $P(\text{일의 자리} = 5) = \tfrac{1}{3}$ — 답 (B). 이 풀이는 일반화도 됩니다 — $0$ 이 아닌 서로 다른 $n$ 개 숫자 중에 $5$ 가 정확히 하나 있다면, $5$ 의 배수가 될 확률은 $\tfrac{1}{n}$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.OA.A.1 곱셈을 "몇 묶음 안의 전체 개수" 로 해석하기 ($6$ 개 배열을 "백의 자리 $3$ 가지 $\times$ 나머지 $2$ 가지" 로 세고, 조건 만족 $2$ 개 배열을 "일의 자리 $= 5$ 고정 $\times$ $\{1, 3\}$ 의 $2$ 가지 배열" 로 세는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수·배수 찾기 및 소수/합성수 판별 ($5$ 의 배수 판정법(일의 자리가 $0$ 또는 $5$) 을 써서 어떤 배열이 조건에 맞는지 판단하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들고 사건의 확률을 구하기 ($6$ 개 배열이 모두 같은 확률을 갖는 모형으로 보고 $P(5\text{ 의 배수}) = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년 확률만 알면 됩니다 — 모든 배열을 적고, 4학년 때 배운 $5$ 의 배수 판정법을 쓰고, 조건 만족 / 전체로 나누면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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