AMC 8 · 2009 · #15
학년 6 rate-ratio문제
A recipe that makes servings of hot chocolate requires squares of chocolate, cup sugar, cup water and cups milk. Jordan has squares of chocolate, cups of sugar, lots of water, and cups of milk. If he maintains the same ratio of ingredients, what is the greatest number of servings of hot chocolate he can make?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 핫초콜릿 레시피 하나로 $5$ 인분이 나오고, 초콜릿 $2$ 조각, 설탕 $\tfrac{1}{4}$ 컵, 물 $1$ 컵, 우유 $4$ 컵이 들어갑니다. 조던은 초콜릿 $5$ 조각, 설탕 $2$ 컵, 물 충분히, 우유 $7$ 컵을 가지고 있습니다. 재료 비율을 그대로 유지할 때 최대 몇 인분을 만들 수 있을까요?
주어진 것: $5$ 인분 레시피: 초콜릿 $2$ 조각, 설탕 $\tfrac{1}{4}$ 컵, 물 $1$ 컵, 우유 $4$ 컵; 조던이 가진 양: 초콜릿 $5$ 조각, 설탕 $2$ 컵, 물 충분, 우유 $7$ 컵; 재료 비율은 레시피와 같게 유지; 선택지: (A) $5\tfrac{1}{8}$, (B) $6\tfrac{1}{4}$, (C) $7\tfrac{1}{2}$, (D) $8\tfrac{3}{4}$, (E) $9\tfrac{7}{8}$
구하는 것: 조던이 만들 수 있는 최대 인분 수
이해
문제 재정리: 핫초콜릿 레시피 하나로 $5$ 인분이 나오고, 초콜릿 $2$ 조각, 설탕 $\tfrac{1}{4}$ 컵, 물 $1$ 컵, 우유 $4$ 컵이 들어갑니다. 조던은 초콜릿 $5$ 조각, 설탕 $2$ 컵, 물 충분히, 우유 $7$ 컵을 가지고 있습니다. 재료 비율을 그대로 유지할 때 최대 몇 인분을 만들 수 있을까요?
주어진 것: $5$ 인분 레시피: 초콜릿 $2$ 조각, 설탕 $\tfrac{1}{4}$ 컵, 물 $1$ 컵, 우유 $4$ 컵; 조던이 가진 양: 초콜릿 $5$ 조각, 설탕 $2$ 컵, 물 충분, 우유 $7$ 컵; 재료 비율은 레시피와 같게 유지; 선택지: (A) $5\tfrac{1}{8}$, (B) $6\tfrac{1}{4}$, (C) $7\tfrac{1}{2}$, (D) $8\tfrac{3}{4}$, (E) $9\tfrac{7}{8}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기, #8 단위 살펴보기
신경 써야 할 재료는 초콜릿, 설탕, 우유 셋입니다 — 물은 충분하니 도구 #3(가능성 지우기) 으로 바로 지워 둘 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 큰 질문이 "각 재료 하나로는 몇 인분이 나오는가?" 라는 작은 문제 세 개로 깔끔하게 갈라집니다. 각각은 도구 #8(단위 살펴보기) 의 단위율 — 조각당 인분, 컵당 인분 — 을 곱하는 단순 계산입니다. 답은 세 값 중 가장 작은 값: 그 재료가 먼저 떨어져서 전체를 결정합니다.
실행 — 정답: D
6.RP.A.3 단계 1 - 한계가 될 수 없는 재료부터 지웁니다.
- 물은 충분하므로 절대 한계가 되지 않습니다.
- 따라서 초콜릿, 설탕, 우유 셋만 확인하면 됩니다.
💡 충분한 재료를 미리 지우는 도구 #3 으로 경우의 수가 넷에서 셋으로 줄어듭니다.
5.NF.B.4 단계 2 - 초콜릿 부분문제.
- 레시피는 $5$ 인분에 $2$ 조각을 쓰므로 $1$ 조각으로는 $\tfrac{5}{2}$ 인분이 가능합니다.
- 조던의 $5$ 조각으로는:
💡 조각당 인분율은 5학년 "분수 $\times$ 자연수" 계산 그대로입니다.
5.NF.B.7 단계 3 - 설탕 부분문제.
- 레시피는 $5$ 인분에 $\tfrac{1}{4}$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $5 \div \tfrac{1}{4} = 20$ 인분이 가능합니다.
- 조던의 $2$ 컵으로는:
💡 단위분수 $\tfrac{1}{4}$ 로 나누는 것은 $4$ 를 곱하는 것 — 5학년 분수 나눗셈 그대로입니다.
5.NF.B.4 단계 4 - 우유 부분문제.
- 레시피는 $5$ 인분에 $4$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $\tfrac{5}{4}$ 인분이 가능합니다.
- 조던의 $7$ 컵으로는:
💡 초콜릿 단계와 같은 "컵당 인분율 $\times$ 보유량" 계산입니다.
6.RP.A.3 단계 5 - 세 결과 중 가장 작은 값을 고릅니다.
- 초콜릿은 $12.5$, 설탕은 $40$, 우유는 $8\tfrac{3}{4}$ 인분까지 허용합니다.
- 우유가 먼저 떨어지므로 전체를 결정합니다.
💡 부분문제들 중 최솟값을 고르는 것이 "한계 재료" 문제의 마무리 — 병목이 전체를 결정합니다.
6.RP.A.3 한계가 될 수 없는 재료부터 지웁니다. 물은 충분하므로 절대 한계가 되지 않습니다. 따라서 초콜릿, 설탕, 우유 셋만 확인하면 됩니다. 5.NF.B.4 초콜릿 부분문제. 레시피는 $5$ 인분에 $2$ 조각을 쓰므로 $1$ 조각으로는 $\tfrac{5}{2}$ 인분이 가능합니다. 조던의 $5$ 조 5.NF.B.7 설탕 부분문제. 레시피는 $5$ 인분에 $\tfrac{1}{4}$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $5 \div \tfrac{1}{4} = 20$ 인 5.NF.B.4 우유 부분문제. 레시피는 $5$ 인분에 $4$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $\tfrac{5}{4}$ 인분이 가능합니다. 조던의 $7$ 컵으로는: 6.RP.A.3 세 결과 중 가장 작은 값을 고릅니다. 초콜릿은 $12.5$, 설탕은 $40$, 우유는 $8\tfrac{3}{4}$ 인분까지 허용합니다. 우유가 검토
합리성 확인: 조던의 재료를 레시피의 몇 배인지로 보면, 초콜릿은 $\tfrac{5}{2} = 2.5$ 배, 설탕은 $\tfrac{2}{1/4} = 8$ 배, 우유는 $\tfrac{7}{4} = 1.75$ 배입니다. 가장 작은 배율 $1.75$ 를 $5$ 인분에 곱하면 $1.75 \times 5 = 8.75 = 8\tfrac{3}{4}$ 인분 — (D) 와 일치합니다. 레시피 대비 가장 모자란 재료가 우유라는 점과도 맞아떨어집니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 확인할 수 있습니다. 가장 큰 후보 (E) $9\tfrac{7}{8}$ 부터 — 필요한 우유 $= \tfrac{4}{5} \times 9\tfrac{7}{8} = \tfrac{4 \times 79}{5 \times 8} = \tfrac{79}{10} = 7.9$ 컵 $> 7$ 컵이라 실패. (D) $8\tfrac{3}{4}$ 는 우유 $= \tfrac{4}{5} \times \tfrac{35}{4} = 7$ 컵 — 가진 양과 정확히 일치. (D) 가 가능하고 (E) 는 불가능합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NF.B.4분수 $\times$ 분수·자연수의 곱셈 (조각당 인분율 $\tfrac{5}{2}$ 과 우유 컵당 인분율 $\tfrac{5}{4}$ 에 조던의 보유량을 곱해 $12.5$ 인분과 $8\tfrac{3}{4}$ 인분을 계산.)5.NF.B.7자연수를 단위분수로, 단위분수를 자연수로 나누기 (설탕 $1$ 컵당 인분 수 $5 \div \tfrac{1}{4} = 20$ 을 계산.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (각 재료의 한계를 단위율(재료 단위당 인분)로 다루고, 재료들 간 비교로 병목 재료를 고르는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년에서 배운 단위율 추론만 알면 풀려요 — 각 재료가 몇 인분까지 가는지 따로 구하고, 그중 가장 작은 값이 답입니다.
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년에서 배운 단위율 추론만 알면 풀려요 — 각 재료가 몇 인분까지 가는지 따로 구하고, 그중 가장 작은 값이 답입니다.