AMC 8 · 2009 · #2
학년 6 rate-ratio문제
On average, for every 4 sports cars sold at the local dealership, 7 sedans are sold. The dealership predicts that it will sell 28 sports cars next month. How many sedans does it expect to sell?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 자동차 대리점에서 스포츠카 $4$ 대가 팔릴 때마다 세단 $7$ 대가 팔립니다. 다음 달에 스포츠카 $28$ 대를 팔 것으로 예상한다면, 같은 비율을 유지할 때 세단은 몇 대가 팔릴 것으로 예상해야 할까요?
주어진 것: 판매 비율은 일정: 스포츠카 대 세단 $= 4 : 7$; 다음 달 스포츠카 예상 판매량 $= 28$ 대; 선택지: (A) $7$, (B) $32$, (C) $35$, (D) $49$, (E) $112$
구하는 것: 다음 달 세단의 예상 판매량
이해
문제 재정리: 어떤 자동차 대리점에서 스포츠카 $4$ 대가 팔릴 때마다 세단 $7$ 대가 팔립니다. 다음 달에 스포츠카 $28$ 대를 팔 것으로 예상한다면, 같은 비율을 유지할 때 세단은 몇 대가 팔릴 것으로 예상해야 할까요?
주어진 것: 판매 비율은 일정: 스포츠카 대 세단 $= 4 : 7$; 다음 달 스포츠카 예상 판매량 $= 28$ 대; 선택지: (A) $7$, (B) $32$, (C) $35$, (D) $49$, (E) $112$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
"스포츠카 $4$ 대당 세단 $7$ 대" 라는 표현은 $(4, 7), (8, 14), (12, 21), \ldots$ 처럼 한 "묶음" 씩 늘어나는 반복 패턴을 만듭니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 이 사다리를 눈에 보이게 적어 두면, 스포츠카 쪽이 몇 배가 되어 $28$ 이 됐는지 바로 보이고, 세단 쪽도 같은 배수만큼 늘려 주면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 자연스러운 검산 — 각 선택지를 $4 : 7$ 비율과 맞춰 보고 일치하는 것을 고릅니다.
실행 — 정답: D
6.RP.A.3 단계 1 - 비율을 작은 표로 나열해 패턴을 봅니다.
- 한 줄이 $4 : 7$ "한 묶음" 에 해당하고, 묶음이 하나 늘 때마다 스포츠카 칸은 $4$ 씩, 세단 칸은 $7$ 씩 늘어납니다.
💡 몇 줄만 적어 봐도 추상적인 비율이 실제로 셀 수 있는 모양으로 바뀝니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 배수를 구합니다.
- 한 묶음의 스포츠카 $4$ 대에서 $28$ 대가 되려면 $28 \div 4 = 7$ 배입니다.
- 즉 $28$ 대의 스포츠카는 $4 : 7$ 묶음 $7$ 개에 해당합니다.
💡 두 칸 모두 묶음 수는 같아야 한다는 점이 곧 "비율이 일정하다" 의 뜻입니다.
5.NF.B.5 단계 3 - 같은 배수를 세단 칸에 적용합니다.
- 한 묶음이 세단 $7$ 대를 차지하고 묶음이 $7$ 개이므로 세단 총합은 $7 \times 7$ 입니다.
💡 비율의 두 항에 같은 자연수를 곱하면 동등한 비율이 유지됩니다.
6.RP.A.3 비율을 작은 표로 나열해 패턴을 봅니다. 한 줄이 $4 : 7$ "한 묶음" 에 해당하고, 묶음이 하나 늘 때마다 스포츠카 칸은 $4$ 씩, 세 6.RP.A.3 배수를 구합니다. 한 묶음의 스포츠카 $4$ 대에서 $28$ 대가 되려면 $28 \div 4 = 7$ 배입니다. 즉 $28$ 대의 스포츠카는 $ 5.NF.B.5 같은 배수를 세단 칸에 적용합니다. 한 묶음이 세단 $7$ 대를 차지하고 묶음이 $7$ 개이므로 세단 총합은 $7 \times 7$ 입니다. 검토
합리성 확인: 비율을 확인합니다. $28 : 49$ 의 공약수 $7$ 로 양쪽을 나누면 $4 : 7$ — 원래 비율과 정확히 일치합니다. 또 비율상 세단이 스포츠카보다 많아야 하는데($7 > 4$), $49 > 28$ 이므로 방향도 맞습니다. $28$ 보다 작은 (A) $7$, 살짝 큰 (B) $32$ · (C) $35$ 는 $4 : 7$ 모양을 유지하지 못하고, (E) $112$ 는 스포츠카의 $4$ 배라 비율이 깨집니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 검사합니다. 각 후보 $s$ 에 대해 $28 : s$ 를 간단히 만들어 $4 : 7$ 과 같은지 봅니다. (A) $28 : 7 = 4 : 1$, 불일치. (B) $28 : 32 = 7 : 8$, 불일치. (C) $28 : 35 = 4 : 5$, 불일치. (D) $28 : 49 = 4 : 7$, 일치. (E) $28 : 112 = 1 : 4$, 불일치. 오직 (D) 만 맞습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($4 : 7$ 을 일정한 비율로 인식하고, 두 달을 잇는 배수 $28 \div 4 = 7$ 을 찾는 데 사용.)5.NF.B.5곱셈을 "크기 조절(scaling)" 로 해석 (세단 쪽에도 같은 배수 $7$ 을 곱해 $7 \times 7 = 49$ 대를 계산하는 데 사용.)
⭐ 두 양이 일정한 비율로 늘어날 때는, 한쪽이 몇 배가 됐는지 먼저 찾고 다른 쪽도 같은 배수만큼 키워 주면 돼요.
⭐ 두 양이 일정한 비율로 늘어날 때는, 한쪽이 몇 배가 됐는지 먼저 찾고 다른 쪽도 같은 배수만큼 키워 주면 돼요.