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AMC 8 · 2009 · #9

학년 4 geometry-2d
유형 Arithmetic Expression Decomposition
perimeterspatial-visualizationpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
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문제

Construct a square on one side of an equilateral triangle. On one non-adjacent side of the square, construct a regular pentagon, as shown. On a non-adjacent side of the pentagon, construct a hexagon. Continue to construct regular polygons in the same way, until you construct an octagon. How many sides does the resulting polygon have?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
21
(B)
23
(C)
25
(D)
27
(E)
29
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정삼각형($3$각형)에서 출발해서, 한 변에 정사각형($4$각형)을 붙입니다. 그 정사각형의 (삼각형 쪽이 아닌) 한 변에 정오각형을 붙이고, 같은 방식으로 정육각형, 정칠각형, 정팔각형까지 차례로 한 변씩 이어 붙입니다. 이렇게 만들어진 큰 도형의 둘레는 모두 몇 개의 변으로 이루어져 있을까요?

주어진 것: 사용된 다각형 순서: 삼각형($3$), 사각형($4$), 오각형($5$), 육각형($6$), 칠각형($7$), 팔각형($8$); 각 새 다각형은 바로 이전 다각형의 한 변과 정확히 맞붙는다; "맞붙지 않은 변"이란, 새 다각형이 빈 공간 쪽으로 뻗어 나간다는 뜻; 선택지: (A) $21$, (B) $23$, (C) $25$, (D) $27$, (E) $29$

구하는 것: 완성된 합쳐진 도형의 둘레에 있는 변의 총 개수

이해

문제 재정리: 정삼각형($3$각형)에서 출발해서, 한 변에 정사각형($4$각형)을 붙입니다. 그 정사각형의 (삼각형 쪽이 아닌) 한 변에 정오각형을 붙이고, 같은 방식으로 정육각형, 정칠각형, 정팔각형까지 차례로 한 변씩 이어 붙입니다. 이렇게 만들어진 큰 도형의 둘레는 모두 몇 개의 변으로 이루어져 있을까요?

주어진 것: 사용된 다각형 순서: 삼각형($3$), 사각형($4$), 오각형($5$), 육각형($6$), 칠각형($7$), 팔각형($8$); 각 새 다각형은 바로 이전 다각형의 한 변과 정확히 맞붙는다; "맞붙지 않은 변"이란, 새 다각형이 빈 공간 쪽으로 뻗어 나간다는 뜻; 선택지: (A) $21$, (B) $23$, (C) $25$, (D) $27$, (E) $29$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 본질적으로 시각적입니다 — 도형들이 한 변씩 맞붙어 사슬을 이루고, 맞붙은 변은 둘레에서 사라집니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 사슬을 간단히 스케치해 보면, 양 끝의 두 다각형(삼각형, 팔각형) 은 각각 $1$ 변을 잃고, 가운데의 네 다각형은 각각 $2$ 변을 잃는다는 게 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "다각형마다 둘레에 기여하는 변이 몇 개인가?" 라는 여섯 개의 작은 문제로 나눈 뒤 마지막에 더하면 됩니다. 대수 같은 건 필요 없습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 2.G.A.1 단계 1
  • 먼저 사슬을 그려 봅니다.
  • 삼각형 옆에 사각형, 사각형 옆에 오각형, 그렇게 팔각형까지.
  • 그림을 그려 보면 여섯 다각형이 한 줄로 이어져 있고, 이웃한 두 도형은 정확히 한 변씩 맞닿아 있다는 것이 보입니다.
$$\triangle - \square - \pentagon - \hexagon - \text{(7각형)} - \text{(8각형)}$$

💡 각 도형을 변의 개수($3, 4, 5, 6, 7, 8$) 로 식별하는 것은 2학년 "속성으로 도형 이름 짓기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2 단계 2
  • 각 다각형별로 하나씩 작은 문제로 쪼갭니다.
  • 다각형마다 전체 변의 수에서 맞붙어 사라진 변(양 끝은 $1$개, 가운데는 $2$개) 을 빼면 그 다각형이 둘레에 기여하는 변의 수가 나옵니다.
$$\text{기여 변 수} = (\text{전체 변 수}) - (\text{공유한 변 수})$$

💡 정$n$각형이 같은 길이의 $n$개의 변을 가진다는 것은 4학년 "$2$차원 도형 분류" 지식입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 3
  • 삼각형(사슬 끝): 전체 $3$ 변 중 $1$ 변이 사각형과 맞붙음.
  • 둘레 기여 = $3 - 1 = 2$ 변.
$$3 - 1 = 2$$

💡 뺄셈 한 번으로 끝나는 작은 문장제 — 3학년 두 단계 연산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 4
  • 사각형(사슬 가운데): 전체 $4$ 변 중 $2$ 변이 맞붙음(한쪽은 삼각형, 다른 쪽은 오각형).
  • 둘레 기여 = $4 - 2 = 2$ 변.
$$4 - 2 = 2$$

💡 가운데 도형은 양쪽 이웃과 맞닿으므로 $2$개를 빼야 합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 5
  • 오각형(가운데): $5 - 2 = 3$.
  • 육각형(가운데): $6 - 2 = 4$.
  • 칠각형(가운데): $7 - 2 = 5$.
  • 가운데에 있는 정$n$각형은 모두 $n - 2$ 변을 기여합니다.
$$5 - 2 = 3,\;\; 6 - 2 = 4,\;\; 7 - 2 = 5$$

💡 가운데 다각형들은 깔끔한 규칙을 따릅니다: 정$n$각형의 기여 $= n - 2$.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 6
  • 팔각형(사슬 끝): 전체 $8$ 변 중 $1$ 변이 칠각형과 맞붙음.
  • 둘레 기여 = $8 - 1 = 7$ 변.
$$8 - 1 = 7$$

💡 팔각형도 삼각형처럼 사슬 끝이라 이웃이 하나뿐이므로 $1$개만 빼면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 7

여섯 다각형의 기여를 모두 더해 둘레 변의 총수를 구합니다.

$$2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 23 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 여러 단계의 결과를 마지막에 합하는 것은 4학년 "여러 단계 문장제 해결" 표준입니다.

[1] #1 2.G.A.1 먼저 사슬을 그려 봅니다. 삼각형 옆에 사각형, 사각형 옆에 오각형, 그렇게 팔각형까지. 그림을 그려 보면 여섯 다각형이 한 줄로 이어져 있고,
[2] #7 4.G.A.2 각 다각형별로 하나씩 작은 문제로 쪼갭니다. 다각형마다 전체 변의 수에서 맞붙어 사라진 변(양 끝은 $1$개, 가운데는 $2$개) 을 빼면 그
[3] #7 3.OA.D.8 삼각형(사슬 끝): 전체 $3$ 변 중 $1$ 변이 사각형과 맞붙음. 둘레 기여 = $3 - 1 = 2$ 변.
[4] #7 3.OA.D.8 사각형(사슬 가운데): 전체 $4$ 변 중 $2$ 변이 맞붙음(한쪽은 삼각형, 다른 쪽은 오각형). 둘레 기여 = $4 - 2 = 2$ 변.
[5] #7 3.OA.D.8 오각형(가운데): $5 - 2 = 3$. 육각형(가운데): $6 - 2 = 4$. 칠각형(가운데): $7 - 2 = 5$. 가운데에 있는 정$n
[6] #7 3.OA.D.8 팔각형(사슬 끝): 전체 $8$ 변 중 $1$ 변이 칠각형과 맞붙음. 둘레 기여 = $8 - 1 = 7$ 변.
[7] #7 4.OA.A.3 여섯 다각형의 기여를 모두 더해 둘레 변의 총수를 구합니다.

검토

합리성 확인: 교차 검산: 여섯 다각형의 변의 합은 $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$. 맞붙은 자리(이음매) 는 삼각형-사각형, 사각형-오각형, 오각형-육각형, 육각형-칠각형, 칠각형-팔각형 — 모두 $5$개. 이음매 하나당 양쪽 도형의 변이 $1$개씩 사라지므로 총 $5 \times 2 = 10$ 변이 둘레에서 빠집니다. 그래서 $33 - 10 = 23$. 답 (B) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 가운데 정$n$각형은 모두 $n - 2$ 변을 기여하고, 양 끝의 두 다각형은 (변의 수 $- 1$) 변을 기여합니다. 그래서 총합은 $(3 - 1) + (4 - 2) + (5 - 2) + (6 - 2) + (7 - 2) + (8 - 1) = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 23$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 2.G.A.1 주어진 각의 개수와 같은 속성을 가진 도형을 식별하고 그리기 (사슬을 이루는 여섯 다각형을 변의 개수($3, 4, 5, 6, 7, 8$) 로 식별하는 데 사용.)
  • 3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (각 다각형의 전체 변 수에서 맞붙은 변의 수를 빼서 기여 변 수를 구함($3 - 1 = 2$, $4 - 2 = 2$ 등).)
  • 4.G.A.2 변과 각의 속성을 이용해 $2$차원 도형 분류 (정$n$각형이 $n$개의 같은 길이 변을 가진다는 성질로 각 다각형의 기여를 세우는 데 사용.)
  • 4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (여섯 다각형의 뺄셈 결과를 합쳐 최종 합 $2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 23$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 사고 — 도형 이름 알기, 맞붙은 변 빼기, 그리고 다 더하기 — 만으로 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 사고 — 도형 이름 알기, 맞붙은 변 빼기, 그리고 다 더하기 — 만으로 풀 수 있어요!

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