AMC 8 · 2011 · #19

• 부분 문제 (a): 원래 그려진 세 개의 큰 직사각형 자체가 직사각형입니다.
• 각각 $S$ = 가운데 정사각형, $H$ = 가로 직사각형, $V$ = 세로 직사각형으로 이름 붙입니다.
• 여기서 바로 $3$ 개를 확보합니다.

💡 네 모서리가 직각인 가로·세로 정렬 직사각형을 알아보는 것은 3학년 도형 개념입니다.

• 부분 문제 (b): 정사각형 $S$ 내부에서 일어나는 일을 봅니다.
• 가로 직사각형 $H$는 $S$를 $H$의 윗변을 따라 가로로 한 번 자르고, 세로 직사각형 $V$는 $S$를 $V$의 왼쪽 변을 따라 세로로 한 번 자릅니다.
• 이 두 자름이 $S$를 작은 직사각형 네 조각(왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래)으로 나눕니다.
• $S$ 자체는 이미 1단계에서 세었으므로, $S$ 안에서 새로 생기는 직사각형은 작은 조각 $4$ 개와, 이웃한 두 조각을 변끼리 붙여 만드는 "반쪽 정사각형" 형태의 직사각형 $4$ 개(위쪽 반, 아래쪽 반, 왼쪽 반, 오른쪽 반)입니다.

💡 정사각형을 같은 크기의 직사각형으로 나누고 합쳐서 세는 것은 3학년 "도형을 같은 넓이의 부분으로 분할하기" 표준 그대로입니다.

• 다시 한 번 정확히 세어 봅시다.
• 두 자름이 $S$ 안에 만든 $2 \times 2$ 격자에는 직사각형이 모두 $9$ 개 들어 있지만, 그 중 하나는 $S$ 전체이고 이미 1단계에서 세었습니다.
• 그래서 $S$ 내부에서 정말 새로 생기는 직사각형은 $9 - 1 = 8$ 개입니다.
• 격자의 직사각형 개수 공식 $\binom{m+1}{2}\binom{n+1}{2}$ 에 $m=n=2$ 를 넣으면 $3 \times 3 = 9$ 가 되어 우리의 셈을 확인해 줍니다.

💡 $2 \times 2$ 격자 안의 $9$ 개 직사각형을 하나씩 적어 보는 것은 체계적인 목록의 전형이며 그림과 정확히 일치합니다.

• 부분 문제 (c) 와 (d): 정사각형 $S$ 바깥에서 생기는 직사각형이 있는지 확인합니다.
• 가로 직사각형 $H$가 $S$ 왼쪽으로 튀어나온 부분은 $H$의 일부이긴 하지만, 그 부분의 위·아래 변은 $H$의 윗변·아랫변 그 자체라서 그것만으로는 새 직사각형이 만들어지지 않습니다($H$ 전체는 이미 세었음).
• $V$가 $S$ 아래로 튀어나온 부분도 마찬가지입니다.
• 한편 $H$와 $V$가 서로 겹치는 부분은 $S$의 오른쪽 아래 영역 근처에 작은 직사각형으로 나타나는데, 이 직사각형은 3단계의 $2 \times 2$ 격자 직사각형 중 하나와 같으므로 새로 추가되지 않습니다.

💡 "정사각형 안쪽"과 "정사각형 바깥쪽" 으로 영역을 쪼개서 세면 누락이나 중복을 피할 수 있습니다.

• 이제 모두 합칩니다.
• $3$ 개의 큰 직사각형 $+\ S$ 내부의 $8$ 개 $+\ S$ 바깥쪽 추가 $0$ 개 $= 11$.
• 직접 분류해 다시 확인: 큰 직사각형 세 개 ($S, H, V$); $S$ 안 $2 \times 2$ 격자의 작은 조각 $4$ 개; $S$ 안 "반쪽 정사각형" $4$ 개; 합 $3 + 4 + 4 = 11$.
• 답은 (D) 입니다.

💡 체계적인 목록의 소계를 더해 최종 답을 구하는 것은 4학년 여러 단계 문장제 풀이 그대로입니다.