AMC 8 · 2011 · #22

학년 6 number-theory

modular-arithmeticpattern-recognitionexponents pattern-recognitionmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: modular-arithmeticexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$7^{2011}$ 의 십의 자리 숫자는 무엇인가요?

$\textbf{(A) }0\qquad\textbf{(B) }1\qquad\textbf{(C) }3\qquad\textbf{(D) }4\qquad\textbf{(E) }7$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 거대한 수 $7^{2011}$ 의 십의 자리 숫자(끝에서 두 번째 자리)를 구합니다.

주어진 것: 주어진 수는 $7^{2011}$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $7$

구하는 것: $7^{2011}$ 의 십의 자리 숫자

이해

문제 재정리: 거대한 수 $7^{2011}$ 의 십의 자리 숫자(끝에서 두 번째 자리)를 구합니다.

주어진 것: 주어진 수는 $7^{2011}$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $7$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

지수 $2011$ 은 너무 커서 직접 계산이 불가능합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 작은 지수부터 — $7^1, 7^2, 7^3, \dots$ — 시작하고, 매 단계 마지막 두 자리만 남깁니다 (백의 자리 위로 올라가는 부분은 십의 자리에 영향을 주지 못합니다). 그 "끝 두 자리" 값들이 반복되기 시작하면 도구 #5(패턴 찾기) 가 이어받습니다 — 짧은 주기를 찾아내면 지수 $2011$ 을 훨씬 작은 동치 지수로 바꿀 수 있습니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.1 단계 1

$7$ 의 작은 거듭제곱의 끝 두 자리를 계산합니다.
왜 끝 두 자리만 보면 될까요?
$7$ 을 곱할 때 새로운 십의 자리는 이전 끝 두 자리에만 의존하고, 그 위쪽 자리는 백의 자리 이상으로 올라갈 뿐 아래로 내려오지 않습니다.
그래서 매 단계 끝 두 자리만 남기면 됩니다.

$$7^1 = 07,\; 7^2 = 49,\; 7^3 = 343 \to 43,\; 7^4 = 43 \times 7 = 301 \to 01$$

💡 거대한 지수를 $1, 2, 3, 4$ 로 줄이는 것이 더 쉬운 문제의 핵심입니다. 끝 두 자리만 추적하는 것은 "십·일의 자리는 백의 자리 아래에서 결정된다" 라는 5학년 자릿값 개념입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

주기를 찾습니다.
끝 두 자리가 $07, 49, 43, 01$ 순서로 나왔습니다.
여기에 $7$ 을 한 번 더 곱하면 $01 \times 7 = 07$ — 처음 값으로 돌아옵니다.
따라서 $7^n$ 의 끝 두 자리는 주기 $4$ 로 반복됩니다: $07, 49, 43, 01$ 이 계속 돕니다.

$$7^5 \to 01 \times 7 = 07 \;(= 7^1),\; 7^6 \to 49 \;(= 7^2),\; \dots$$

💡 반복되는 주기를 발견하고 명시하는 것은 4학년 "수 패턴 만들기·분석하기" 표준 그대로입니다 — $7^4$ 가 $01$ 로 돌아오는 순간 같은 사이클이 다시 시작될 수밖에 없습니다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.2 단계 3

$2011$ 이 주기 안 어느 자리에 해당하는지 찾습니다.
주기 길이가 $4$ 이므로 $7^n$ 은 $7^r$ 과 끝 두 자리가 같습니다.
여기서 $r$ 은 $n$ 을 $4$ 로 나눈 나머지(나머지가 $0$ 이면 마지막 자리)입니다.
$2011 \div 4 = 502$ 나머지 $3$, 따라서 $2011$ 은 주기의 $3$ 번째 자리입니다.

$$2011 = 4 \times 502 + 3 \;\Rightarrow\; 7^{2011} \text{ 의 끝 두 자리는 } 7^3 \text{ 와 같음}$$

💡 큰 수를 나누어 나머지로 주기 안 위치를 찾는 것은 6학년 "여러 자릿수 나눗셈" 을 패턴 위치 찾기에 응용한 것입니다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.A.1 단계 4

십의 자리를 읽습니다.
1단계에서 $7^3$ 의 끝 두 자리는 $43$ 이므로 $7^{2011}$ 도 $\dots 43$ 으로 끝납니다.
끝에서 두 번째 자리(십의 자리)는 $4$ 입니다.

$$7^{2011} \to \dots 43 \;\Rightarrow\; \text{십의 자리} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 어느 숫자가 십의 자리에 있는지 식별하는 것은 5학년 자릿값 정의 그 자체입니다.

[1] #9 5.NBT.A.1 $7$ 의 작은 거듭제곱의 끝 두 자리를 계산합니다. 왜 끝 두 자리만 보면 될까요? $7$ 을 곱할 때 새로운 십의 자리는 이전 끝 두 자리에

[2] #5 4.OA.C.5 주기를 찾습니다. 끝 두 자리가 $07, 49, 43, 01$ 순서로 나왔습니다. 여기에 $7$ 을 한 번 더 곱하면 $01 \times 7 =

[3] #5 6.NS.B.2 $2011$ 이 주기 안 어느 자리에 해당하는지 찾습니다. 주기 길이가 $4$ 이므로 $7^n$ 은 $7^r$ 과 끝 두 자리가 같습니다. 여기

[4] #5 5.NBT.A.1 십의 자리를 읽습니다. 1단계에서 $7^3$ 의 끝 두 자리는 $43$ 이므로 $7^{2011}$ 도 $\dots 43$ 으로 끝납니다. 끝에서

검토

합리성 확인: 주기 $07, 49, 43, 01$ 에서 십의 자리만 보면 $0, 4, 4, 0$ — 결과적으로 답은 $0$ 또는 $4$ 중 하나일 수밖에 없고, 선택지에도 정확히 그 두 개((A) $0$, (D) $4$) 가 들어있습니다. $2011 \bmod 4 = 3$ 으로 $43$ 자리에 떨어지므로 십의 자리는 $4$, 답 (D). 한 번 더 확인: $7^{2012}$ 는 $01$ 로 끝나(십의 자리 $0$) 인접한 지수가 정말 주기대로 번갈아 나옵니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합) 으로 더 짧게: 끝 두 자리만 보는 작업 자체가 $\bmod{100}$ 계산입니다. $7^2 = 49$, $7^4 = 49^2 = 2401 \equiv 1 \pmod{100}$ 이므로 $7^{2011} = 7^{4 \cdot 502 + 3} \equiv 1^{502} \cdot 7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}$ — 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 수 패턴을 만들고 분석하기 ($7^n$ 의 끝 두 자리가 $07, 49, 43, 01$ 의 주기 $4$ 로 반복됨을 인식하는 데 사용.)
5.NBT.A.1 자릿값 체계 이해하기 (십의 자리를 구할 때 끝 두 자리만 보면 된다는 근거 제시, 그리고 $\dots 43$ 에서 십의 자리로 $4$ 를 읽어내는 데 사용.)
6.NS.B.2 표준 알고리즘으로 여러 자릿수 나눗셈 능숙하게 수행하기 ($2011 \div 4$ 의 몫 $502$ 와 나머지 $3$ 을 구해 $2011$ 의 주기 내 위치를 찾는 데 사용.)

⭐ 엄청 큰 지수도 끝 두 자리는 금세 주기를 이루기 때문에, 6학년 나머지 나눗셈 하나면 답이 떨어져요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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