AMC 8 · 2017 · #24

학년 6 number-theorycounting

lcmmultiplesmodular-arithmeticcomplementary-counting complementary-countingpattern-recognition ↑ 선수 지식: lcmmultiples

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

샌더스 부인에게는 손주 셋이 있고, 모두 정기적으로 전화를 합니다. 한 명은 $3$ 일마다, 한 명은 $4$ 일마다, 한 명은 $5$ 일마다 전화를 겁니다. 세 손주가 모두 $2016$ 년 $12$ 월 $31$ 일에 전화를 했습니다. 다음 한 해 동안 손주들 중 누구에게서도 전화를 받지 못한 날은 며칠입니까?

$\textbf{(A) }78\qquad\textbf{(B) }80\qquad\textbf{(C) }144\qquad\textbf{(D) }146\qquad\textbf{(E) }152$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

144

(D)

146

(E)

152

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 샌더스 부인에게는 손주 셋이 있고, 각각 $3$ 일, $4$ 일, $5$ 일 간격으로 정기적으로 전화를 겁니다. 세 손주 모두 $2016$ 년 $12$ 월 $31$ 일(0일째)에 전화를 했으므로, 다음 한 해인 $2017$ 년 ($365$ 일) 동안에는 손주들이 각각 $3, 4, 5$ 의 배수인 날에 전화를 겁니다. 이 $365$ 일 중에서 손주 누구한테서도 전화가 오지 않은 날이 며칠인지 구하세요.

주어진 것: $2017$ 년은 윤년이 아니므로 총 $365$ 일; 첫째 손주 $A$ 는 $3$ 의 배수인 날 ($3, 6, 9, \ldots$ 일째) 에 전화; 둘째 손주 $B$ 는 $4$ 의 배수인 날 ($4, 8, 12, \ldots$ 일째) 에 전화; 셋째 손주 $C$ 는 $5$ 의 배수인 날 ($5, 10, 15, \ldots$ 일째) 에 전화; 선택지: (A) $78$, (B) $80$, (C) $144$, (D) $146$, (E) $152$

구하는 것: $\{1, 2, \ldots, 365\}$ 일째 중에서 $3, 4, 5$ 중 어느 것의 배수도 아닌 날의 수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기)

보조 도구: #12 벤 다이어그램, #5 패턴 찾기

"전화가 오지 않은" 날을 묻고 있는데, 이건 전형적인 "적어도 하나" / "하나도 없음" 구조라 도구 #16(관점 바꾸기) 의 정석적인 신호입니다 — 전화 온 날을 먼저 센 다음 $365$ 에서 빼면 됩니다. 세 손주의 전화 날은 세 집합 $A$ ($3$ 의 배수), $B$ ($4$ 의 배수), $C$ ($5$ 의 배수) 가 겹쳐 있는 구조이므로 도구 #12(벤 다이어그램) 가 자연스럽게 그림으로 떠오릅니다 — 세 원을 더하고, 두 원씩 겹치는 부분(최소공배수의 배수)을 빼고, 가운데 세 원 모두 겹치는 부분을 다시 더합니다. 도구 #5(패턴 찾기) 는 단순한 셈 규칙으로 쓰입니다 — $\{1, \ldots, 365\}$ 안에 있는 $k$ 의 배수 개수는 $\lfloor 365/k \rfloor$ 와 같습니다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 1

손주별로 전화하는 날의 수를 셉니다.
$1 \sim 365$ 일째 안에 들어 있는 $k$ 의 배수 개수는 $\lfloor 365/k \rfloor$ 입니다 — $365$ 를 전화 주기로 나눈 몫.

$$|A| = \lfloor 365/3 \rfloor = 121, \quad |B| = \lfloor 365/4 \rfloor = 91, \quad |C| = \lfloor 365/5 \rfloor = 73$$

💡 어떤 수의 배수가 정해진 범위 안에 몇 개 있는지 세는 것은 4학년 "약수·배수" 그대로이고, 그것을 세 번 반복할 뿐입니다.

#12 벤 다이어그램 6.NS.B.4 단계 2

두 명이 동시에 전화하는 날의 수를 셉니다.
두 손주가 같은 날 전화하려면 두 주기 모두로 나누어 떨어져야 하니까, 그 날은 두 수의 최소공배수의 배수입니다 — $\text{lcm}(3,4) = 12$, $\text{lcm}(3,5) = 15$, $\text{lcm}(4,5) = 20$.

💡 두 사건이 같은 날 일어나는 것은 벤 다이어그램에서 두 원이 겹친 부분 — 즉 두 수의 최소공배수(LCM, 6학년) 의 배수에 해당합니다.

#12 벤 다이어그램 6.NS.B.4 단계 3

세 명 모두 전화하는 날의 수를 셉니다.
그러려면 그 날은 $\text{lcm}(3,4,5) = 60$ 의 배수여야 합니다 — 세 원이 모두 겹치는 벤 다이어그램의 한가운데입니다.

$$|A \cap B \cap C| = \lfloor 365/60 \rfloor = 6$$

💡 세 사건이 모두 일어나는 날은 세 주기의 최소공배수의 배수 — 벤 다이어그램에서 가장 안쪽 중심 영역입니다.

#12 벤 다이어그램 4.OA.A.3 단계 4

포함-배제 원리로 "적어도 한 통이라도 전화가 온 날" 의 총 수를 구합니다.
세 원의 크기를 더하고, 두 원씩 겹친 부분(두 번 센 셈)을 빼고, 세 원 모두 겹친 부분(한 번 더 빼버린 셈)을 다시 더합니다.

$$|A \cup B \cup C| = (121 + 91 + 73) - (30 + 24 + 18) + 6 = 285 - 72 + 6 = 219$$

💡 더하고-빼고-더하는 패턴은 벤 다이어그램의 각 영역이 정확히 한 번씩만 세어지도록 맞추는 셈법입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합으로 세기) 4.NBT.B.4 단계 5

여집합 기법을 적용합니다.
$2017$ 년의 총 일수는 $365$, 적어도 한 통이라도 전화가 온 날은 $219$ 일이므로 전화가 한 통도 오지 않은 날은 그 나머지입니다.

$$365 - 219 = 146 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "전화가 안 온 날" 은 "적어도 한 통이라도 전화가 온 날" 의 여집합이므로 전체에서 빼면 끝 — 선택지 (D) 와 일치합니다.

[1] #5 4.OA.B.4 손주별로 전화하는 날의 수를 셉니다. $1 \sim 365$ 일째 안에 들어 있는 $k$ 의 배수 개수는 $\lfloor 365/k \rfloo

[2] #12 6.NS.B.4 두 명이 동시에 전화하는 날의 수를 셉니다. 두 손주가 같은 날 전화하려면 두 주기 모두로 나누어 떨어져야 하니까, 그 날은 두 수의 최소공배수

[3] #12 6.NS.B.4 세 명 모두 전화하는 날의 수를 셉니다. 그러려면 그 날은 $\text{lcm}(3,4,5) = 60$ 의 배수여야 합니다 — 세 원이 모두 겹

[4] #12 4.OA.A.3 포함-배제 원리로 "적어도 한 통이라도 전화가 온 날" 의 총 수를 구합니다. 세 원의 크기를 더하고, 두 원씩 겹친 부분(두 번 센 셈)을 빼

[5] #16 4.NBT.B.4 여집합 기법을 적용합니다. $2017$ 년의 총 일수는 $365$, 적어도 한 통이라도 전화가 온 날은 $219$ 일이므로 전화가 한 통도 오지

검토

합리성 확인: $\text{lcm}(3,4,5) = 60$ 일 주기로 검산해 봅시다. $60$ 일 한 묶음 안에 전화 온 날은 $20 + 15 + 12 - 5 - 4 - 3 + 1 = 36$ 일이므로, 전화 없는 날은 한 주기당 $24$ 일 — 약 $40\%$. 어림하면 $365 \times 24/60 = 146$ 으로 정확히 떨어집니다. 답 (D) 와 일치하고, 선택지 $78 \sim 152$ 범위 안에서도 자연스러운 위치입니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 $60$ 일 주기 안을 직접 다 적어 봅니다 — $1 \sim 60$ 일째에서 $3, 4, 5$ 의 배수를 모두 지우고 남은 날을 세면 한 주기당 "전화 없는 날" 이 $24$ 일임을 확인할 수 있습니다. $365 = 6 \times 60 + 5$ 이고 각 주기의 처음 $5$ 일 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 중 전화 없는 날은 정확히 $\{1, 2\}$ 의 $2$ 일이므로, 전체 합은 $6 \times 24 + 2 = 146$ — 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수쌍을 모두 찾고 배수를 인식하기, 소수·합성수 판별 ($365$ 일 범위 안에 있는 $3, 4, 5$ 의 배수 개수를 바닥 나눗셈 $\lfloor 365/k \rfloor$ 로 세는 데 사용 — 4학년 배수 셈.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\text{lcm}(3,4)=12$, $\text{lcm}(3,5)=15$, $\text{lcm}(4,5)=20$, $\text{lcm}(3,4,5)=60$ 을 구해서 벤 다이어그램의 두 원 겹친 부분·세 원 겹친 부분의 날 수를 세는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용하는 여러 단계 문장제 해결 (포함-배제의 더하고·빼고·더하는 패턴으로 일곱 개의 수를 합치기: $285 - 72 + 6 = 219$.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 (마지막 여집합 뺄셈 $365 - 219 = 146$ 으로 전화가 안 온 날 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최소공배수(LCM) 와 벤 다이어그램만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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