AMC 8 · 2011 · #23

학년 5 counting

systematic-enumerationcombinations-basicdigit-constraintsdivisibility-rules caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

네 자리 양의 정수 중에서 네 자릿수가 모두 서로 다르고, 맨 앞자리 숫자가 $0$ 이 아니며, $5$ 의 배수이고, 사용된 자릿수 중 가장 큰 수가 $5$ 인 수는 모두 몇 개인가요?

$\textbf{(A) }24\qquad\textbf{(B) }48\qquad\textbf{(C) }60\qquad\textbf{(D) }84\qquad\textbf{(E) }108$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

108

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 자리 양의 정수 $\overline{ABCD}$ 중에서 네 자리 숫자가 모두 다르고, 맨 앞자리 $A \neq 0$ 이며, 전체가 $5$ 의 배수이고, 사용된 자릿수 중 가장 큰 것이 $5$ 인 수의 개수를 구해야 합니다.

주어진 것: 네 자리 정수의 네 자릿수 $A, B, C, D$ 는 모두 서로 다름; $A \neq 0$ (맨 앞자리는 0이 될 수 없음); $5$ 의 배수이므로 $D \in \{0, 5\}$; 사용된 자릿수 중 가장 큰 수가 $5$ 이므로 모든 자릿수는 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ 안에 있고, 숫자 $5$ 가 반드시 한 번은 등장해야 함; 선택지: (A) $24$, (B) $48$, (C) $60$, (D) $84$, (E) $108$

구하는 것: 네 조건을 모두 만족하는 네 자리 정수 $\overline{ABCD}$ 의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

$5$ 의 배수 조건이 마지막 자릿수를 $D = 0$ 또는 $D = 5$ 둘 중 하나로 묶어 주므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마지막 자리 기준 두 경우로 깔끔하게 나눕니다. 각 경우 안에서는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 자리별 곱셈 원리로 적용해 — $A$ 후보, 그다음 $B$ 후보, 그다음 $C$ 후보 — $\{0,1,2,3,4,5\}$ 의 남은 숫자를 채워 갑니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로는 두 가지 부가 조건을 처리합니다 — 천의 자리에서 $A \neq 0$ 으로 한 선택지를 지우고, $D = 0$ 인 경우엔 $5$ 가 아직 안 쓰였으므로 $A, B, C$ 중 한 자리에 $5$ 를 강제 배치합니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.B.3 단계 1

자릿수 후보 집합과 경우 나눔을 정합니다.
$5$ 가 가장 큰 자릿수이므로 모든 자리의 숫자는 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ 안에 있고, $5$ 의 배수 조건으로부터 $D \in \{0, 5\}$ 이므로 서로 겹치지 않는 두 경우로 갈립니다.

$$\text{경우 1: } D = 5 \;\;\big|\;\; \text{경우 2: } D = 0$$

💡 마지막 자릿수 값에 따라 경우를 강제로 나누는 것은 5학년의 "규칙으로부터 경우를 만들어 내기" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 2

경우 1 ($D = 5$).
마지막 자리에 이미 $5$ 가 사용되었으므로 "$5$ 가 반드시 등장" 규칙은 자동으로 충족됩니다.
나머지 세 자리 $A, B, C$ 는 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ 에서 서로 다르게 뽑습니다.
천의 자리는 $A \neq 0$ 이므로 $\{1, 2, 3, 4\}$ 에서 $4$ 가지, 백의 자리 $B$ 는 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ 중 $A$ 를 뺀 $4$ 가지(여기선 $0$ 도 허용), 십의 자리 $C$ 는 남은 $3$ 가지입니다.

$$4 \times 4 \times 3 = 48 \text{ 개}$$

💡 "자리별 가짓수" 를 곱하는 것은 3학년에서 배운 곱셈 — 같은 크기의 묶음을 반복해 모으는 — 의 자리별 적용입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 3

경우 2 ($D = 0$).
마지막 자리에 $0$ 이 들어갔으므로 $A, B, C$ 는 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 에서 서로 다르게 뽑습니다.
"$5$ 가 반드시 등장" 규칙이 아직 만족되지 않았으므로 ($D$ 가 $0$ 이라서), $5$ 가 $A, B, C$ 중 정확히 한 자리에 들어가야 합니다.
$5$ 의 위치 먼저 정하면 $3$ 가지, 나머지 두 자리는 $\{1, 2, 3, 4\}$ 에서 채우므로 $4$ 가지 그리고 $3$ 가지입니다.

$$3 \times (4 \times 3) = 3 \times 12 = 36 \text{ 개}$$

💡 반드시 들어가야 하는 $5$ 의 위치를 먼저 못 박고 그 주위를 세는 것은 4학년 다단계 문장제 추론입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

두 경우는 마지막 자리가 $5$ 인지 $0$ 인지로 갈라지므로 서로 겹치지 않습니다.
따라서 총개수는 두 경우의 합입니다.

$$48 + 36 = 84 \;\Longrightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 서로 겹치지 않는 경우들의 개수를 더하는 것은 4학년의 다단계 정수 연산 패턴입니다.

[1] #7 5.OA.B.3 자릿수 후보 집합과 경우 나눔을 정합니다. $5$ 가 가장 큰 자릿수이므로 모든 자리의 숫자는 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ 안에 있

[2] #2 3.OA.A.1 경우 1 ($D = 5$). 마지막 자리에 이미 $5$ 가 사용되었으므로 "$5$ 가 반드시 등장" 규칙은 자동으로 충족됩니다. 나머지 세 자리

[3] #3 4.OA.A.3 경우 2 ($D = 0$). 마지막 자리에 $0$ 이 들어갔으므로 $A, B, C$ 는 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 에서 서로 다르게 뽑

[4] #7 4.OA.A.3 두 경우는 마지막 자리가 $5$ 인지 $0$ 인지로 갈라지므로 서로 겹치지 않습니다. 따라서 총개수는 두 경우의 합입니다.

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 확인합니다. $\{0,1,2,3,4,5\}$ 에서 자릿수 모두 다르고 $A \neq 0$ 인 네 자리 수의 총개수는 $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 개입니다. 그중 $D \in \{0, 5\}$ 의 비율은 대략 $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ 이므로 약 $100$ 개 정도가 후보입니다. 우리가 구한 $48 + 36 = 84$ 는 그 추정값보다 약간 작은데, "$5$ 가 반드시 등장해야 한다" 는 조건이 $\{0,1,2,3,4\}$ 만으로 이루어진 수를 걸러내기 때문입니다. $84$ 는 선택지 (D) 와 일치하고, (A), (B) 처럼 작지도 않아 자연스러운 크기입니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합 세기) 으로 경우 2 를 다시 셉니다. 경우 2 ($D = 0$) 에서 "$5$ 가 반드시 등장" 조건을 무시하고 먼저 $A, B, C$ 가 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 에서 서로 다른 경우를 세면 $5 \times 4 \times 3 = 60$ 개입니다. 여기서 $5$ 가 한 번도 들어가지 않는 경우, 즉 $A, B, C$ 가 $\{1, 2, 3, 4\}$ 에서 뽑힌 경우는 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 개입니다. 따라서 경우 2 의 답은 $60 - 24 = 36$. 경우 1 의 $48$ 과 합하면 다시 $48 + 36 = 84$ 가 되어 (D) 가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.OA.A.1 정수의 곱을 같은 크기의 묶음을 모은 총량으로 해석 (각 자릿수 슬롯의 가짓수를 곱해 세는 데 사용 (경우 1 의 $4 \times 4 \times 3$, 경우 2 에서 남은 두 자리의 $4 \times 3$) — 곱셈 원리(자리별 선택)의 기본 형태.)
4.OA.A.3 정수의 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (경우 2 에서 $5$ 의 위치를 먼저 ($3$ 가지) 정한 뒤 남은 자리의 $4 \times 3$ 을 곱해 세고, 두 경우의 결과를 $48 + 36 = 84$ 로 합치는 데 사용.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수의 패턴을 만들고 관계 식별 ($5$ 의 배수 조건이 주는 규칙으로 $D = 5$ 와 $D = 0$ 두 경우로 갈라 각각의 규칙으로 처리하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 5학년에서 배운 "규칙대로 경우 나누기" 와 3학년 때부터 익힌 "자리별 가짓수 곱하기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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