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AMC 8 · 1999 · #20

학년 6 geometry-3d
유형 Casework by Position / Vertex Type
spatial-visualizationsystematic-enumeration physical-representationcasework ↑ 선수 지식: spatial-visualization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Figure 1 is called a "stack map." The numbers tell how many cubes are stacked in each position. Fig. 2 shows these cubes, and Fig. 3 shows the view of the stacked cubes as seen from the front.

Which of the following is the front view for the stack map in Fig. 4?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
Front view with column heights 2, 3, 4 plus extra blocks (heights 4 left-stack, 2 middle, 3 right) — irregular L
(B)
Front view with column heights 2, 3, 4 (left to right) — staircase rising to the right
(C)
Front view with column heights 4, 3 only (two columns)
(D)
Front view with column heights 2, 2, 4 (left to right)
(E)
Front view with column heights 1, 4, 4 (left to right)
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: "스택 맵"은 위에서 내려다본 격자에서 각 칸의 수가 그 자리에 쌓인 단위 정육면체 개수를 알려주는 그림입니다. 그림 4의 스택 맵은 두 행(뒤·앞)과 세 열(왼·가운데·오른)로 되어 있어요. 뒷줄은 $2,\ 2,\ 4$, 앞줄은 $1,\ 3,\ 1$ 입니다. (A)~(E) 다섯 그림 중에서 이 3D 구조의 정면도는 어느 것일까요?

주어진 것: 그림 4의 스택 맵(위에서 본 모습): 뒷줄 = $(2, 2, 4)$, 앞줄 = $(1, 3, 1)$, 열은 왼/가운데/오른; 각 수는 그 바닥 칸에 쌓인 단위 정육면체의 개수; 정면도는 뒤에서 앞으로 가는 축을 따라 똑바로 본 모습이므로, 깊이 방향의 두 줄이 하나의 실루엣으로 겹친다; 선택지 (A)~(E)는 단위 정사각형으로 그린 다섯 가지 정면 실루엣

구하는 것: 쌓인 정육면체 구조의 정면도에 해당하는 선택지 (A)~(E)

이해

문제 재정리: "스택 맵"은 위에서 내려다본 격자에서 각 칸의 수가 그 자리에 쌓인 단위 정육면체 개수를 알려주는 그림입니다. 그림 4의 스택 맵은 두 행(뒤·앞)과 세 열(왼·가운데·오른)로 되어 있어요. 뒷줄은 $2,\ 2,\ 4$, 앞줄은 $1,\ 3,\ 1$ 입니다. (A)~(E) 다섯 그림 중에서 이 3D 구조의 정면도는 어느 것일까요?

주어진 것: 그림 4의 스택 맵(위에서 본 모습): 뒷줄 = $(2, 2, 4)$, 앞줄 = $(1, 3, 1)$, 열은 왼/가운데/오른; 각 수는 그 바닥 칸에 쌓인 단위 정육면체의 개수; 정면도는 뒤에서 앞으로 가는 축을 따라 똑바로 본 모습이므로, 깊이 방향의 두 줄이 하나의 실루엣으로 겹친다; 선택지 (A)~(E)는 단위 정사각형으로 그린 다섯 가지 정면 실루엣

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #3 가능성 지우기

문제는 위에서 본 2D 지도를 주고 정면에서 본 3D 구조를 묻습니다 — 도구 #17(공간 상상하기)의 전형적인 신호입니다. 핵심 관찰은 한 열의 정면도 높이가 그 열에서 더 높은 스택과 같다는 점이에요. 더 높은 쪽이 더 낮은 쪽을 가리기 때문이죠. 도구 #10(직접 만져보기)은 안전망입니다. 머릿속 투영이 헷갈리면 실제 블록으로 쌓아 보고 정면에서 바라봐도 되고, 종이에 열별 실루엣을 그어 봐도 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 검산입니다. 세 열의 높이가 정해지면 다섯 그림 중 정확히 그 순서의 높이를 가진 것은 하나뿐입니다.

실행 — 정답: B

#17 공간 상상하기 5.G.A.1 단계 1
  • 축을 정해 투영 규칙을 분명히 합니다.
  • 왼쪽-오른쪽 방향을 $x$ 축, 뒤-앞 방향(깊이)을 $y$ 축, 위쪽을 $z$ 축으로 둡니다.
  • 정면도는 $y$ 축을 따라 우리 쪽으로 바라본 모습 — 깊이가 사라지므로, 같은 열($x$ 가 같고 $y$ 가 다른) 두 스택이 하나의 실루엣으로 겹치고 그 높이는 둘 중 더 큰 값이 됩니다.
$$\text{열 } x \text{ 의 정면 높이} = \max_y(\,(x,y) \text{ 에 쌓인 높이}\,)$$

💡 위에서 본 격자를 $(x, y)$ 좌표로 읽고 $(x, z)$ 평면에 투영하는 것 — 5학년 좌표축 개념을 한 축 더 확장한 것입니다.

#17 공간 상상하기 5.G.A.1 단계 2
  • 그림 4의 스택 맵을 읽어 적습니다.
  • 뒷줄과 앞줄을 열별로 위아래로 정렬해 두면 각 열의 두 높이가 한눈에 비교됩니다.
$$\text{열별 높이} \to \begin{array}{c|c|c|c} & \text{왼} & \text{가운데} & \text{오른} \\ \hline \text{뒤} & 2 & 2 & 4 \\ \text{앞} & 1 & 3 & 1 \end{array}$$

💡 두 줄을 열별로 포개 놓으면 지도는 세 쌍의 높이가 되어 $\max$ 규칙에 그대로 넣을 수 있습니다.

#10 직접 만져보기 6.SP.A.3 단계 3
  • 각 열에 $\max$ 규칙을 적용합니다.
  • 더 높은 쪽이 더 낮은 쪽을 가리니, 보이는 높이는 둘 중 큰 값입니다.
$$\max(2, 1)=2,\quad \max(2, 3)=3,\quad \max(4, 1)=4$$

💡 실제로 책상에 정육면체를 쌓아 두고 정면에서 눈높이를 맞추면, 각 열에서 보이는 높이는 가장 높은 스택 하나뿐 — 규칙이 자연스럽게 따라옵니다.

#3 가능성 지우기 6.SP.A.3 단계 4
  • 정면 높이 $(2, 3, 4)$ 를 다섯 선택지와 맞춰 보고 지웁니다.
  • 우리가 찾는 실루엣은 왼쪽 $2$, 가운데 $3$, 오른쪽 $4$ 로 올라가는 깔끔한 계단 모양입니다.
$$(2, 3, 4) \;\Rightarrow\; \text{(A)},(C),(D),(E) \text{ 모두 어긋남};\;\; \text{(B) 일치} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 왼→오 $2$-$3$-$4$ 계단은 (B) 뿐입니다. (C) 는 열이 두 개뿐이고, (A), (D), (E) 는 적어도 한 열의 높이가 안 맞아서 한눈에 지울 수 있습니다.

[1] #17 5.G.A.1 축을 정해 투영 규칙을 분명히 합니다. 왼쪽-오른쪽 방향을 $x$ 축, 뒤-앞 방향(깊이)을 $y$ 축, 위쪽을 $z$ 축으로 둡니다. 정면도는
[2] #17 5.G.A.1 그림 4의 스택 맵을 읽어 적습니다. 뒷줄과 앞줄을 열별로 위아래로 정렬해 두면 각 열의 두 높이가 한눈에 비교됩니다.
[3] #10 6.SP.A.3 각 열에 $\max$ 규칙을 적용합니다. 더 높은 쪽이 더 낮은 쪽을 가리니, 보이는 높이는 둘 중 큰 값입니다.
[4] #3 6.SP.A.3 정면 높이 $(2, 3, 4)$ 를 다섯 선택지와 맞춰 보고 지웁니다. 우리가 찾는 실루엣은 왼쪽 $2$, 가운데 $3$, 오른쪽 $4$ 로 올

검토

합리성 확인: 각 정육면체가 정면에서 어떻게 보이는지 따라가며 검산합니다. 오른쪽 열은 뒤에 $4$ 칸, 앞에 $1$ 칸이 쌓여 있으므로 정면 실루엣은 $4$ 칸 높이까지 올라가야 합니다 — 이 조건으로 오른쪽이 $4$ 인 (A), (B), (D), (E) 만 남습니다. 가운데 열의 가장 높은 스택은 앞줄의 $3$ 이므로 가운데 실루엣은 $3$ 칸 — (D)(가운데 $2$)와 (E)(가운데 $4$) 제거. 왼쪽 열의 가장 높은 스택은 $2$ 이므로 왼쪽 실루엣은 $2$ 칸 — (A)(왼쪽 $4$) 제거. 남는 것은 (B), 높이 $2, 3, 4$. 또 한 가지: 정면에 보이는 정사각형의 총 개수는 $2+3+4 = 9$ 칸이고 (B) 가 정확히 $9$ 칸이라서 내부적으로도 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기): 블록 $13$ 개($2+2+4+1+3+1$)를 책상에 스택 맵 그대로 쌓습니다. 뒷쪽 왼 칸에 $2$ 개, 앞쪽 왼 칸에 $1$ 개, 이런 식으로요. 그런 다음 앉아서 정면을 똑바로 바라보면 왼→오 $2$-$3$-$4$ 칸 계단이 그대로 보입니다 — (B). 3D 시각화 문제에서 가장 확실한 검증 방법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 5.G.A.1 수직인 두 수직선(축)을 이용해 좌표계 정의하기 (스택 맵을 $(x, y)$ 바닥 좌표 + 높이 $z$ 로 읽고, 정면도를 $(x, z)$ 평면으로의 투영으로 인식하는 데 사용.)
  • 6.SP.A.3 수치 자료의 중심 측도가 자료를 하나의 수로 요약함을 이해하기 (각 열의 두 높이를 "가장 높은 스택" 이라는 하나의 요약값($\max$)으로 압축해 보이는 실루엣 높이를 구하는 데 사용.)

⭐ 정면에서는 한 열의 가장 높은 스택이 더 낮은 쪽을 가립니다 — 각 열의 최댓값을 골라 실루엣 $2, 3, 4$ 를 만들면 답은 (B).

⭐ 정면에서는 한 열의 가장 높은 스택이 더 낮은 쪽을 가립니다 — 각 열의 최댓값을 골라 실루엣 $2, 3, 4$ 를 만들면 답은 (B).

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