AMC 8 · 2014 · #19

• 큰 정육면체의 겉넓이를 구합니다.
• 정육면체는 합동인 정사각형 면 $6$ 개로 둘러싸여 있고, 각 면은 한 변 $3$ 인치이므로 넓이는 $3 \times 3 = 9$ 제곱인치입니다.

💡 큰 정육면체의 바깥을 $6$ 개의 정사각형 면으로 쪼개 한 면의 넓이를 구한 뒤 곱하는 것이 6학년 겉넓이 계산 그대로입니다.

• $27$ 자리를 바깥으로 드러나는 면 수에 따라 분류합니다.
• 큐브를 직접 쌓아 (혹은 머릿속으로 그려) 보면 자리는 네 종류뿐입니다 — 꼭짓점 자리는 바깥 면 $3$ 개와 닿고, 모서리 자리(꼭짓점 사이)는 $2$ 개, 면 중앙 자리는 $1$ 개, 정중앙 자리는 $0$ 개와 닿습니다.

💡 큐브를 손으로 (혹은 머릿속으로) 만져 보면 네 가지 자리 유형이 바로 보입니다 — 꼭짓점은 세 방향, 모서리는 두 방향, 면 중앙은 한 방향, 정중앙은 한 방향도 바깥과 닿지 않습니다.

• 자리 유형을 드러나는 면 수가 적은 순서대로 나열하며 개수를 다시 한 번 확인합니다.
• 합이 $27$ 이면 빠진 자리 없이 모두 다 셌다는 뜻입니다.

💡 드러나는 면 수 $0, 1, 2, 3$ 순서로 자리를 적는 systematic list 덕분에 어떤 자리도 빠뜨리거나 중복해서 세지 않게 됩니다.

• 흰색 큐브 $6$ 개를 "가장 안 보이는 자리" 부터 차례로 채웁니다 (그리디 전략).
• 정중앙 자리($1$ 개) 는 드러나는 면이 $0$ 개이므로 흰 큐브 $1$ 개를 여기에 넣습니다.
• 그다음으로 좋은 자리는 면 중앙 자리($6$ 개) 로 각각 면 $1$ 개씩만 드러내며, 남은 흰 큐브 $5$ 개를 모두 수용할 수 있습니다.

💡 흰 면 노출의 합을 줄이려면 가능한 한 많은 큐브를 숨기고, 남는 큐브는 각각 한 면씩만 보이도록 두는 것이 최적 — 이것이 "노출 합 최소화" 라는 작은 문제의 그리디 해법입니다.

• 배치로부터 흰색 겉넓이를 계산합니다.
• 중앙의 흰 큐브 $1$ 개는 $0$ 제곱인치, 면 중앙의 흰 큐브 $5$ 개는 각각 $1 \times 1 = 1$ 제곱인치씩 드러냅니다.

💡 각 자리에서 드러나는 면 수를 모두 더해 숫자로 바꾸는 단계 — 6학년 겉넓이 계산을 흰색 부분에만 적용한 셈입니다.

• 흰 겉넓이 $\div$ 전체 겉넓이로 비율을 구합니다.
• $\gcd(5, 54) = 1$ 이므로 $\tfrac{5}{54}$ 는 이미 기약분수입니다.

💡 전체에 대한 부분의 비율을 분수로 표현하는 것은 3학년 분수 개념 그대로 — 겉면 $54$ 칸 중 $5$ 칸이 흰색입니다.