AMC 8 · 2006 · #18
학년 6 geometry-3d문제
A cube with 3-inch edges is made using 27 cubes with 1-inch edges. Nineteen of the smaller cubes are white and eight are black. If the eight black cubes are placed at the corners of the larger cube, what fraction of the surface area of the larger cube is white?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $27$ 개의 단위 정육면체로 한 변이 $3$ 인 큰 정육면체를 만들었습니다. 모서리(꼭짓점) 위치의 단위 정육면체 $8$ 개는 검은색이고, 나머지 $19$ 개는 흰색입니다. 큰 정육면체의 겉넓이 중 흰색 부분의 비율은 얼마인가요?
주어진 것: 큰 정육면체는 한 변이 $3$ 이고 $27$ 개의 단위 정육면체로 이루어져 있다; 꼭짓점에 있는 단위 정육면체 $8$ 개가 검은색이다; 나머지 $19$ 개는 흰색이다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{9}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{4}{9}$, (D) $\tfrac{5}{9}$, (E) $\tfrac{19}{27}$
구하는 것: 큰 정육면체 겉면 중 흰색이 차지하는 비율
이해
문제 재정리: $27$ 개의 단위 정육면체로 한 변이 $3$ 인 큰 정육면체를 만들었습니다. 모서리(꼭짓점) 위치의 단위 정육면체 $8$ 개는 검은색이고, 나머지 $19$ 개는 흰색입니다. 큰 정육면체의 겉넓이 중 흰색 부분의 비율은 얼마인가요?
주어진 것: 큰 정육면체는 한 변이 $3$ 이고 $27$ 개의 단위 정육면체로 이루어져 있다; 꼭짓점에 있는 단위 정육면체 $8$ 개가 검은색이다; 나머지 $19$ 개는 흰색이다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{9}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{4}{9}$, (D) $\tfrac{5}{9}$, (E) $\tfrac{19}{27}$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여집합 세기)
보조 도구: #17 공간 상상하기, #7 작은 문제로 쪼개기
흰색 단위 정사각형을 직접 세는 건 번거롭습니다 — 모서리·면·중앙에 있는 큐브가 노출하는 면 수가 다 다르거든요. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 검은색 쪽을 세면 훨씬 쉽습니다. 검은 큐브는 $8$ 개 꼭짓점에만 있고, 도구 #17(공간 상상하기)을 쓰면 꼭짓점 큐브 하나가 정확히 $3$ 개의 면을 보인다는 게 보입니다. 그래서 검은 면 개수는 한 번의 곱셈으로 끝납니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (a) 전체 겉면 칸 수, (b) 검은 칸 수, (c) 뺄셈, (d) 분수로 정리합니다.
실행 — 정답: D
6.G.A.4 단계 1 - 큰 정육면체의 표면 단위 정사각형 개수를 셉니다.
- 면이 $6$ 개이고, 각 면은 $3\times 3 = 9$ 개의 단위 정사각형으로 이루어져 있습니다.
💡 6학년 겉넓이: 정육면체 표면은 합동인 정사각형 $6$ 개로 되어 있고, 한 면의 칸 수는 $\text{한 변}^2 = 9$ 입니다.
3.OA.A.1 단계 2 - 이제 검은 칸을 셉니다.
- 검은 큐브 $8$ 개는 모두 꼭짓점 자리에 있습니다.
- 정육면체의 한 꼭짓점에는 면이 $3$ 개 모이므로, 꼭짓점 큐브 하나는 자기 면 중 $3$ 개를 바깥으로 보입니다.
💡 큐브 하나를 들어 꼭짓점을 들여다보면 세 면이 모이는 게 보입니다. 그다음은 3학년 곱셈: 꼭짓점 $8$ 개, 각 $3$ 면.
3.OA.A.1 단계 3 - 여집합으로 흰 칸을 구합니다.
- 표면의 모든 칸은 검은색 아니면 흰색이므로, 전체에서 검은 칸을 빼면 됩니다.
💡 여집합을 세면 모서리 큐브와 면 중앙 큐브를 따로 추적할 필요가 없습니다 — 검은색은 수가 적어 세기 쉬우므로 빼는 게 이득.
4.NF.A.1 단계 4 - 흰색 비율을 분수로 쓰고 약분합니다.
- 분자와 분모의 공약수 $6$ 으로 나눕니다.
💡 4학년 동치분수: $30 = 6 \times 5$, $54 = 6 \times 9$ 이므로 $\tfrac{30}{54} = \tfrac{5}{9}$.
6.G.A.4 큰 정육면체의 표면 단위 정사각형 개수를 셉니다. 면이 $6$ 개이고, 각 면은 $3\times 3 = 9$ 개의 단위 정사각형으로 이루어져 있 3.OA.A.1 이제 검은 칸을 셉니다. 검은 큐브 $8$ 개는 모두 꼭짓점 자리에 있습니다. 정육면체의 한 꼭짓점에는 면이 $3$ 개 모이므로, 꼭짓점 큐브 3.OA.A.1 여집합으로 흰 칸을 구합니다. 표면의 모든 칸은 검은색 아니면 흰색이므로, 전체에서 검은 칸을 빼면 됩니다. 4.NF.A.1 흰색 비율을 분수로 쓰고 약분합니다. 분자와 분모의 공약수 $6$ 으로 나눕니다. 검토
합리성 확인: 한 면의 대칭성으로 흰 칸을 직접 세 봅니다. 한 면은 $3\times 3$ 격자이고, 그 격자의 네 모서리 칸은 큰 큐브의 꼭짓점에 해당해 검은색입니다. 나머지는 변 가운데 칸 $4$ 개와 한가운데 칸 $1$ 개, 총 $5$ 개가 흰색입니다. 즉 한 면당 흰 $5$ / 검은 $4$ 로 $\tfrac{5}{9}$ 가 흰색 — 모든 면이 똑같으니 전체도 $\tfrac{5}{9}$. 답 (D) 와 일치합니다. 크기도 자연스럽습니다: 흰 큐브 비율은 $\tfrac{19}{27}$ 이지만 그 흰 큐브들은 대부분 안쪽에 있어 표면에 보이지 않으니, 표면 흰 비율은 그보다 훨씬 작아야 하고 (E) 는 후보가 아닙니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 한 면을 $3\times 3$ 격자로 그리고 네 모서리 칸을 검게 칠합니다. 면당 흰 칸이 $5$, 면이 $6$ 개이므로 $\tfrac{6 \times 5}{6 \times 9} = \tfrac{5}{9}$. 모든 면이 대칭이므로 한 면의 비율이 전체 비율과 같습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.G.A.4전개도로 입체도형을 나타내고 겉넓이 구하기 (정육면체 표면을 합동인 $3\times 3$ 정사각형 $6$ 면으로 보고 전체 $54$ 칸을 구하는 데 사용.)3.OA.A.1자연수의 곱의 의미 이해하기 ($6 \times 9 = 54$ 전체 칸 수와 $8 \times 3 = 24$ 검은 칸 수를 계산하는 데 사용.)4.NF.A.1동치분수의 이해 ($a/b = (n\times a)/(n\times b)$) ($\tfrac{30}{54}$ 의 분자·분모를 공약수 $6$ 으로 나눠 $\tfrac{5}{9}$ 로 약분하는 데 사용.)
⭐ 대부분이 한 색이면 반대 색을 세는 게 빠릅니다 — 꼭짓점의 검은 큐브 $8$ 개가 각각 $3$ 면씩만 보이므로 검은 칸 $24$ 개, 흰 칸 $30$ 개 → 흰색은 $\tfrac{5}{9}$ 입니다.
⭐ 대부분이 한 색이면 반대 색을 세는 게 빠릅니다 — 꼭짓점의 검은 큐브 $8$ 개가 각각 $3$ 면씩만 보이므로 검은 칸 $24$ 개, 흰 칸 $30$ 개 → 흰색은 $\tfrac{5}{9}$ 입니다.
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