AMC 8 · 2011 · #3
학년 6 geometry-2d문제
검은 정사각형 타일 개와 흰 정사각형 타일 개로 이루어진 아래 정사각형 패턴 둘레에, 검은 타일로 한 겹의 테두리를 더 붙여 패턴을 확장합니다. 확장된 패턴에서 검은 타일과 흰 타일의 개수 비는 얼마인가요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $5 \times 5$ 정사각형 타일 배열에서 가운데 띠를 이루는 검은 타일이 $8$ 개, 흰 타일이 $17$ 개($1 \times 1$ 중심 $+$ 바깥쪽 $5 \times 5$ 띠) 있습니다. 이 정사각형 둘레에 검은 타일로 한 겹의 테두리를 더 두를 때, 새 그림에서 검은 타일과 흰 타일의 비는 얼마일까요?
주어진 것: 원래 패턴은 $5 \times 5 = 25$ 개의 타일로 된 정사각형; 검은 타일 $8$ 개, 흰 타일 $17$ 개로 구성됨; 바깥쪽에 검은 타일로 한 겹의 테두리를 새로 두름; 선택지: (A) $8:17$, (B) $25:49$, (C) $36:25$, (D) $32:17$, (E) $36:17$
구하는 것: 테두리를 추가한 뒤 검은 타일과 흰 타일의 비
이해
문제 재정리: $5 \times 5$ 정사각형 타일 배열에서 가운데 띠를 이루는 검은 타일이 $8$ 개, 흰 타일이 $17$ 개($1 \times 1$ 중심 $+$ 바깥쪽 $5 \times 5$ 띠) 있습니다. 이 정사각형 둘레에 검은 타일로 한 겹의 테두리를 더 두를 때, 새 그림에서 검은 타일과 흰 타일의 비는 얼마일까요?
주어진 것: 원래 패턴은 $5 \times 5 = 25$ 개의 타일로 된 정사각형; 검은 타일 $8$ 개, 흰 타일 $17$ 개로 구성됨; 바깥쪽에 검은 타일로 한 겹의 테두리를 새로 두름; 선택지: (A) $8:17$, (B) $25:49$, (C) $36:25$, (D) $32:17$, (E) $36:17$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 그림이 곧 풀이입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 도형을 동심 정사각형 — $1 \times 1$ 흰 중심, 그 바깥의 $3 \times 3$ 검은 띠, 다시 그 바깥의 $5 \times 5$ 흰 띠 — 로 본 뒤, 머릿속에서 $7 \times 7$ 검은 띠를 한 겹 더 두르면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세기를 두 단계로 나눠 줍니다 — (a) 새로 두른 검은 테두리에 들어가는 타일 수(정사각형 두 개의 넓이 차) 와 (b) 그것을 기존 개수에 더했을 때의 합계. 흰 타일 수는 그대로이므로 실제 계산은 새 검은 타일을 세는 것뿐입니다.
실행 — 정답: D
3.MD.C.7 단계 1 - 도형을 동심 정사각형으로 그리거나 떠올립니다.
- 중심에서 바깥으로: $1 \times 1$ 흰 중심 → 거기서 $3 \times 3$ 까지 채우는 검은 띠 → 다시 $5 \times 5$ 까지 채우는 흰 띠.
- 주어진 개수와 맞춰 봅니다 — 검은 타일 $= 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$, 흰 타일 $= 1 + (5^2 - 3^2) = 1 + 16 = 17$.
- 그림과 문제가 일치합니다.
💡 정사각형 띠의 타일 수를 "바깥 정사각형 넓이 $-$ 안쪽 정사각형 넓이" 로 구하는 것은 3학년 "넓이는 곱셈" 그대로입니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 새 정사각형의 한 변 길이를 구합니다.
- 타일 한 겹의 테두리는 왼쪽 $1$ 줄과 오른쪽 $1$ 줄(위·아래도 똑같이) 을 더하므로 변의 길이가 $2$ 만큼 늘어납니다.
- 새 도형은 $7 \times 7$ 정사각형이고, 전체 타일 수는 $7^2 = 49$ 개입니다.
💡 정사각형에 한 겹의 테두리를 두르면 변 길이가 항상 $2$ 만큼 늘어난다 — 한 번 그려 두면 잊히지 않는 관찰입니다.
3.OA.A.3 단계 3 - "새 테두리에만 들어 있는 타일 수" 라는 작은 문제로 새 검은 타일을 셉니다.
- 이 테두리는 $7 \times 7$ 에서 $5 \times 5$ 를 도려낸 부분이므로, 그 안의 타일 수는 두 넓이의 차입니다.
💡 "큰 정사각형 $-$ 작은 정사각형" 은 1단계에서 이미 쓴 패턴 그대로 — $3$ 대 $1$ 에서 $7$ 대 $5$ 로 크기만 바뀐 같은 작업입니다.
3.OA.A.3 단계 4 - 총 개수를 갱신합니다.
- 기존 검은 타일 $8$ 개에 새 테두리의 $24$ 개가 더해지므로 검은 총합은 $8 + 24 = 32$ 개.
- 흰 타일은 그대로 $17$ 개.
- 검산: $32 + 17 = 49$ 로 $7 \times 7$ 전체와 일치합니다.
💡 "기존" 과 "새로" 를 갈라 두면 세기는 작은 덧셈으로 끝나고, 합계 $49$ 가 계산이 맞았는지 확인해 줍니다.
6.RP.A.1 단계 5 - 검은 타일과 흰 타일의 비를 적습니다.
- $17$ 은 소수이고 $32$ 의 약수가 아니므로 $\gcd(32, 17) = 1$, 즉 이미 기약비입니다.
💡 비는 두 개수를 비교하는 표현일 뿐이라, $32$ 와 $17$ 만 나오면 답은 바로 보입니다.
3.MD.C.7 도형을 동심 정사각형으로 그리거나 떠올립니다. 중심에서 바깥으로: $1 \times 1$ 흰 중심 → 거기서 $3 \times 3$ 까지 채우는 3.MD.C.7 새 정사각형의 한 변 길이를 구합니다. 타일 한 겹의 테두리는 왼쪽 $1$ 줄과 오른쪽 $1$ 줄(위·아래도 똑같이) 을 더하므로 변의 길이가 3.OA.A.3 "새 테두리에만 들어 있는 타일 수" 라는 작은 문제로 새 검은 타일을 셉니다. 이 테두리는 $7 \times 7$ 에서 $5 \times 5$ 3.OA.A.3 총 개수를 갱신합니다. 기존 검은 타일 $8$ 개에 새 테두리의 $24$ 개가 더해지므로 검은 총합은 $8 + 24 = 32$ 개. 흰 타일은 6.RP.A.1 검은 타일과 흰 타일의 비를 적습니다. $17$ 은 소수이고 $32$ 의 약수가 아니므로 $\gcd(32, 17) = 1$, 즉 이미 기약비입니 검토
합리성 확인: 새 검은 띠($24$ 개) 가 원래 검은 띠($8$ 개) 보다 훨씬 크므로 검은 수가 흰 수를 크게 넘어가는 게 자연스럽습니다. 실제로 $32 > 17$ 이고, 합계 $32 + 17 = 49 = 7^2$ 이라 빠뜨리거나 두 번 센 타일이 없다는 검산까지 됩니다. 검은 수가 흰 수보다 작은 (A), 원래 $25$ 짜리 정사각형만 보고 만든 (B), 색을 뒤바꾼 (C) 는 모두 이 검산에서 걸러지고, (D) $32 : 17$ 만이 들어맞습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 빠르게 거르는 방법도 있습니다. 새 도형은 $7^2 = 49$ 개의 타일이고 흰 타일은 $17$ 개로 변함이 없으니, 검은 타일은 $49 - 17 = 32$ 개. 비는 $32 : 17$, 즉 (D). 나머지 선택지는 합이 $49$ 가 되지 않거나 잘못된 정사각형의 넓이를 쓴 경우입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.C.7넓이를 곱셈과 연결하고, 도형을 분해해 직사각형 도형의 넓이 구하기 (정사각형 띠 안의 타일 수를 두 정사각형 넓이의 차로 계산(예: 원래 검은 띠 $3^2 - 1^2 = 8$, 새 검은 테두리 $7^2 - 5^2 = 24$)하는 데 사용.)3.OA.A.3$100$ 이내의 곱셈·나눗셈으로 문장제 풀기 (기존 검은 타일과 새 검은 타일을 합산($8 + 24 = 32$)하고 전체 합으로 검산($32 + 17 = 49 = 7^2$)하는 데 사용.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비의 표현을 사용 (최종 답을 검정 $:$ 흰색 $= 32 : 17$ 의 비로 적고 이미 기약비임을 확인하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 "큰 정사각형 $-$ 작은 정사각형" 넓이 사고에 6학년 비 표현만 얹으면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 "큰 정사각형 $-$ 작은 정사각형" 넓이 사고에 6학년 비 표현만 얹으면 풀 수 있어요!
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