AMC 8 · 2012 · #16
학년 4 number-theory문제
숫자 , , , , , , , , , 를 각각 한 번씩만 사용하여 두 개의 다섯 자리 수를 만들고, 그 합이 가능한 한 가장 크도록 만듭니다. 다음 중 그 두 수 중 하나가 될 수 있는 것은 무엇일까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 숫자 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 를 각각 한 번씩만 써서 다섯 자리 수 두 개를 만들 때, 그 합이 최대가 되도록 합니다. 선택지 중 두 수 중 하나가 될 수 있는 것은 무엇일까요?
주어진 것: 사용할 수 있는 숫자: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ (10개); 두 수 전체에서 각 숫자는 정확히 한 번씩만 쓰임; 두 수 모두 다섯 자리 수 (만의 자리는 $0$ 이 될 수 없음); 선택지: (A) $76531$, (B) $86724$, (C) $87431$, (D) $96240$, (E) $97403$
구하는 것: 합이 최대일 때 두 수 중 하나가 될 수 있는 선택지
이해
문제 재정리: 숫자 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 를 각각 한 번씩만 써서 다섯 자리 수 두 개를 만들 때, 그 합이 최대가 되도록 합니다. 선택지 중 두 수 중 하나가 될 수 있는 것은 무엇일까요?
주어진 것: 사용할 수 있는 숫자: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ (10개); 두 수 전체에서 각 숫자는 정확히 한 번씩만 쓰임; 두 수 모두 다섯 자리 수 (만의 자리는 $0$ 이 될 수 없음); 선택지: (A) $76531$, (B) $86724$, (C) $87431$, (D) $96240$, (E) $97403$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
다섯 자리 수 두 개의 합은 만의 자리, 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 — 다섯 칸의 합으로 분해됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 각 자릿값 칸을 "여기에 어떤 두 숫자가 들어가야 할까?" 라는 독립된 작은 문제로 봅니다 — 만의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 $10{,}000$ 배 값이 크기 때문에 칸끼리 손해 보고 바꿀 이유가 없거든요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 두 자리 수 두 개를 먼저 만들어 보며 규칙을 확인합니다. 각 칸에 들어갈 숫자 쌍이 정해지면, 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 한 자리씩 훑어 잘못된 칸에 숫자가 들어간 답을 차례로 지워 나갑니다.
실행 — 정답: C
4.NBT.A.2 단계 1 - 더 쉬운 버전을 먼저 풀어 봅시다.
- 숫자 $0, 1, 2, 3$ 으로 합이 최대가 되는 두 자리 수 두 개를 만들어 봅니다.
- 큰 숫자 둘($3, 2$)을 십의 자리에, 작은 숫자 둘($1, 0$)을 일의 자리에 두면 $31 + 20 = 51$.
- 같은 칸 안에서 자리를 바꿔도($30 + 21 = 51$) 결과는 같지만, 큰 숫자를 일의 자리로 옮기면($13 + 20 = 33$) 훨씬 작아집니다.
- 규칙: 큰 자릿값일수록 큰 숫자를 둔다.
💡 작은 사례에서 자릿값 규칙이 분명히 보이면 원래 문제에 안심하고 적용할 수 있습니다.
4.NBT.A.1 단계 2 - 이제 원래 문제에 같은 규칙을 적용합니다.
- 가장 큰 자릿값(왼쪽)부터 시작해서, 남은 숫자 중 가장 큰 두 개를 그 칸에 배치합니다.
- 가장 큰 $9, 8$ 은 만의 자리에.
- 다음 $7, 6$ 은 천의 자리에.
- $5, 4$ 는 백의 자리에.
- $3, 2$ 는 십의 자리에.
- 남은 $1, 0$ 은 일의 자리에 들어갑니다.
💡 각 칸은 "이 칸의 기여를 최대로 만들 두 숫자는?" 이라는 독립 문제이고, 답은 늘 "아직 남아 있는 가장 큰 두 숫자" 입니다.
4.NBT.B.4 단계 3 - 최대 합을 확인해 봅니다(타당성 점검).
- 각 칸은 (두 숫자의 합) $\times$ (자릿값) 만큼 기여하고, 칸별 합은 — $9{+}8 = 17$, $7{+}6 = 13$, $5{+}4 = 9$, $3{+}2 = 5$, $1{+}0 = 1$ — 로 고정됩니다.
- 따라서 한 쌍을 두 수에 어떻게 나눠 줘도 최대 합 자체는 변하지 않습니다.
💡 자릿값은 만의 자리가 일의 자리의 $10{,}000$ 배. 왼쪽 칸에서 이기는 것이 압도적으로 중요합니다.
4.NBT.A.2 단계 4 각 선택지를 단계 2 의 표와 자리별로 맞춰 보고, 어긋나는 답을 지웁니다.
💡 자릿값 규칙을 손에 쥐고 있으면, 잘못된 답은 어긋난 숫자 하나만 보고도 바로 지울 수 있습니다.
4.NBT.B.4 단계 5 - (C) 가 실제로 성립하는지 확인하기 위해 남은 숫자로 짝꿍 수를 만들어 봅니다.
- 한 수가 $87431$ 이면, 다른 수는 남은 $9, 6, 5, 2, 0$ 을 같은 자릿값 규칙대로 배치한 $96520$ 입니다.
- 검산: $87431 + 96520 = 183951$ 로 단계 3 의 최대 합과 정확히 일치합니다.
💡 유효한 답에는 유효한 짝꿍이 같이 있어야 합니다. 짝꿍까지 만들어 보면 (C) 가 단순히 규칙에 맞을 뿐 아니라 실제로 만들어지는 수임을 확인할 수 있습니다.
4.NBT.A.2 더 쉬운 버전을 먼저 풀어 봅시다. 숫자 $0, 1, 2, 3$ 으로 합이 최대가 되는 두 자리 수 두 개를 만들어 봅니다. 큰 숫자 둘($3, 4.NBT.A.1 이제 원래 문제에 같은 규칙을 적용합니다. 가장 큰 자릿값(왼쪽)부터 시작해서, 남은 숫자 중 가장 큰 두 개를 그 칸에 배치합니다. 가장 큰 4.NBT.B.4 최대 합을 확인해 봅니다(타당성 점검). 각 칸은 (두 숫자의 합) $\times$ (자릿값) 만큼 기여하고, 칸별 합은 — $9{+}8 = 1 4.NBT.A.2 각 선택지를 단계 2 의 표와 자리별로 맞춰 보고, 어긋나는 답을 지웁니다. 4.NBT.B.4 (C) 가 실제로 성립하는지 확인하기 위해 남은 숫자로 짝꿍 수를 만들어 봅니다. 한 수가 $87431$ 이면, 다른 수는 남은 $9, 6, 5 검토
합리성 확인: 최대 합 $183951$ 은 여섯 자리 수입니다 — 두 다섯 자리 수가 각각 $100{,}000$ 근처이니 합이 약 $200{,}000$ 인 것은 자연스럽습니다. 합의 맨 앞자리가 $1$ 인 것도 만의 자리에서 $9 + 8 = 17$ 의 받아올림이 한 번 일어났기 때문입니다. (C) $87431$ 도 왼쪽일수록 큰 숫자, 오른쪽일수록 작은 숫자라는 자릿값 규칙을 그대로 따르고, 짝꿍 $96520$ 역시 마찬가지여서 직관과 맞아떨어집니다.
대안 접근: 단계 1, 2 를 생략하고 도구 #3(가능성 지우기) 만으로도 풀 수 있습니다. "큰 숫자가 왼쪽으로" 라는 사실만 알면 만의 자리는 $8$ 또는 $9$ 이어야 하므로 (A) $76531$ 은 즉시 탈락. 나머지 네 선택지는 왼쪽부터 자릿값 표와 비교하다 처음 어긋나는 자리에서 멈춥니다 — (B) 는 백의 자리($7$ 은 천의 자리 후보), (D) 는 백의 자리($2$ 가 $4$ 또는 $5$ 자리에), (E) 는 십의 자리($0$ 이 $2$ 또는 $3$ 자리에) 에서 탈락. 합 계산을 한 번도 안 해도 (C) 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.A.1여러 자리 수에서 한 자리는 그 오른쪽 자리의 10배를 나타냄을 이해 (가장 큰 숫자를 가장 큰 자릿값에 두어야 하는 이유를 정당화 — 만의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 $10{,}000$ 배의 값을 가짐.)4.NBT.A.210진법으로 여러 자리 수를 읽고 쓰고 비교하기 (각 선택지의 숫자를 한 자리씩 자릿값 쌍 표와 대조해 확인.)4.NBT.B.4표준 알고리즘으로 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 빼기 (최대 합 $87431 + 96520 = 183951$ 을 계산하고 칸별 합과 일치하는지 확인.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 때 배운 자릿값 개념만 알면 풀 수 있어요 — 왼쪽 자리의 숫자가 오른쪽 자리보다 훨씬 값이 크니까, 큰 숫자를 왼쪽에 두면 됩니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 때 배운 자릿값 개념만 알면 풀 수 있어요 — 왼쪽 자리의 숫자가 오른쪽 자리보다 훨씬 값이 크니까, 큰 숫자를 왼쪽에 두면 됩니다!