AMC 8 · 2012 · #24
학년 7 geometry-2d문제
반지름이 인 원을 네 개의 합동인 호로 자릅니다. 이 네 호를 이어 붙여서 아래 그림과 같은 별 모양을 만듭니다. 별 모양의 넓이와 원래 원의 넓이의 비는 얼마일까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 반지름이 $2$ 인 원을 네 개의 합동인 호(각각 4분원)로 자른 뒤, 그 네 호를 다시 이어붙여 네 갈래의 "별" 모양을 만듭니다. 별의 변은 안쪽으로 휘어 들어가 있습니다. 이 별의 넓이와 원래 원의 넓이의 비를 구하세요.
주어진 것: 원래 원의 반지름은 $r = 2$ 이므로 넓이는 $\pi r^2 = 4\pi$; 둘레는 길이가 같은 호 $4$ 개로 나뉘며, 각 호는 반지름 $2$ 의 4분원; 네 호를 다시 이어 그림과 같은 별을 만들고, 호는 모두 안쪽으로 휘어 있음(오목); 선택지: (A) $\tfrac{4-\pi}{\pi}$, (B) $\tfrac{1}{\pi}$, (C) $\tfrac{\sqrt{2}}{\pi}$, (D) $\tfrac{\pi-1}{\pi}$, (E) $\tfrac{3}{\pi}$
구하는 것: $\dfrac{\text{별의 넓이}}{\text{원래 원의 넓이}}$ 의 값
이해
문제 재정리: 반지름이 $2$ 인 원을 네 개의 합동인 호(각각 4분원)로 자른 뒤, 그 네 호를 다시 이어붙여 네 갈래의 "별" 모양을 만듭니다. 별의 변은 안쪽으로 휘어 들어가 있습니다. 이 별의 넓이와 원래 원의 넓이의 비를 구하세요.
주어진 것: 원래 원의 반지름은 $r = 2$ 이므로 넓이는 $\pi r^2 = 4\pi$; 둘레는 길이가 같은 호 $4$ 개로 나뉘며, 각 호는 반지름 $2$ 의 4분원; 네 호를 다시 이어 그림과 같은 별을 만들고, 호는 모두 안쪽으로 휘어 있음(오목); 선택지: (A) $\tfrac{4-\pi}{\pi}$, (B) $\tfrac{1}{\pi}$, (C) $\tfrac{\sqrt{2}}{\pi}$, (D) $\tfrac{\pi-1}{\pi}$, (E) $\tfrac{3}{\pi}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
별은 곡선으로 둘러싸인 이상한 모양이라 넓이 공식을 한 번에 적용할 수 없습니다. 그래서 먼저 도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다 — 별의 네 꼭짓점이 변의 한가운데에 닿도록 한 변 $4$ 인 정사각형을 그려 보면, 정사각형에서 별을 뺀 "네 모서리" 가 사실 반지름 $2$ 의 4분원 네 개이고, 그 네 개를 합치면 정확히 원래 원 하나라는 사실이 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "$4 \times 4$ 정사각형 넓이" 와 "반지름 $2$ 인 원 넓이" 라는 두 개의 익숙한 부분 문제로 나눕니다. 별의 넓이는 정사각형에서 원을 뺀 값이고, 비는 간단한 나눗셈으로 떨어집니다.
실행 — 정답: A
3.MD.C.7 단계 1 - 별을 그리고 네 꼭짓점을 $(2,0)$, $(0,2)$, $(-2,0)$, $(0,-2)$ 에 놓습니다.
- 이제 별을 딱 감싸는, 변이 가로·세로로 놓인 정사각형을 그립니다 — 변은 $x = \pm 2$, $y = \pm 2$ 직선입니다.
- 정사각형의 한 변은 $4$ 이고, 별의 네 꼭짓점은 정사각형의 네 변의 한가운데 점에 닿습니다.
💡 별 둘레에 정사각형을 그리는 것이 이 문제의 핵심 아이디어 — 정사각형 넓이는 3학년의 "가로 $\times$ 세로" 면 충분합니다.
7.G.B.4 단계 2 - 이제 정사각형 안에 있지만 별 바깥인 영역을 봅니다.
- 정사각형의 각 모서리 근처에 하나씩, 합동인 네 조각이 있습니다.
- 각 조각은 정사각형의 두 변(모서리에서 만나는)과 별의 안쪽으로 휜 호 하나로 둘러싸여 있습니다.
- 이 호는 반지름 $2$ 의 4분원이고, 정사각형의 모서리는 호의 양 끝점(별의 꼭짓점) 으로부터 각각 $2$ 만큼 떨어져 있으므로, 한 모서리 조각은 정확히 반지름 $2$ 의 4분원 영역입니다.
💡 그림을 보면 호와 정사각형의 두 변이 정확히 4분원 영역을 만든다는 게 보입니다. 7학년 원의 넓이 공식으로 처리할 수 있습니다.
7.G.B.4 단계 3 - 정사각형 넓이를 두 부분 문제로 쪼갭니다: (가) 별의 넓이, (나) 네 모서리 4분원의 넓이.
- 네 개의 4분원은 정확히 반지름 $2$ 인 원 하나로 합쳐집니다 — 바로 원래 원입니다!
💡 반지름이 같은 4분원 네 개는 원 하나가 됩니다. 덕분에 뺄셈이 한층 깔끔해집니다.
3.MD.C.7 단계 4 도구 #7 을 적용합니다: 별의 넓이 = 정사각형 넓이 − 네 모서리 조각.
💡 전체에서 부분을 빼는 것 — 넓이 분해의 기본 동작입니다.
6.RP.A.3 단계 5 원하는 비를 만들고, 분자에서 공통인수 $4$ 를 묶어내어 정리합니다.
💡 두 넓이의 비는 결국 한 수를 다른 수로 나누는 것 — 6학년 비율 추론에 공통인수 정리만 더하면 됩니다.
3.MD.C.7 별을 그리고 네 꼭짓점을 $(2,0)$, $(0,2)$, $(-2,0)$, $(0,-2)$ 에 놓습니다. 이제 별을 딱 감싸는, 변이 가로·세로 7.G.B.4 이제 정사각형 안에 있지만 별 바깥인 영역을 봅니다. 정사각형의 각 모서리 근처에 하나씩, 합동인 네 조각이 있습니다. 각 조각은 정사각형의 두 7.G.B.4 정사각형 넓이를 두 부분 문제로 쪼갭니다: (가) 별의 넓이, (나) 네 모서리 4분원의 넓이. 네 개의 4분원은 정확히 반지름 $2$ 인 원 3.MD.C.7 도구 #7 을 적용합니다: 별의 넓이 = 정사각형 넓이 − 네 모서리 조각. 6.RP.A.3 원하는 비를 만들고, 분자에서 공통인수 $4$ 를 묶어내어 정리합니다. 검토
합리성 확인: 수치로 확인하면 $\pi \approx 3.14$ 이므로 $\dfrac{4 - \pi}{\pi} \approx \dfrac{0.86}{3.14} \approx 0.27$ 입니다. 즉 별은 원래 원의 약 $27\%$ 넓이라는 뜻이고, 그림과도 잘 맞습니다 — 별은 원보다 훨씬 작고, 원 넓이의 절반 이상이 별 바깥의 네 "초승달" 빈 곳에 들어 있습니다. 또 다섯 선택지 모두 분모에 $\pi$ 가 있는데, 우리가 마지막에 $4\pi$ 로 나눈 것과 정합합니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)과 어림셈으로도 됩니다 — 별은 원래 원보다 명백히 작으므로 비는 $1$ 보다 작아야 합니다. $\pi \approx 3.14$ 를 대입하면 (A) $\approx 0.27$, (B) $\approx 0.32$, (C) $\approx 0.45$, (D) $\approx 0.68$, (E) $\approx 0.95$ 가 나옵니다. 별은 원의 약 4분의 1 정도로 보이므로 (D), (E) 는 즉시 빠지고, 그림을 꼼꼼히 그리면 가장 작은 값인 (A) 가 맞다는 결론에 닿습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
3.MD.C.7곱셈·덧셈으로 넓이 다루기 (감싸는 정사각형의 넓이 $4 \times 4 = 16$ 계산과, 전체-부분 분해 ($A_{\text{별}} = A_{\text{정사각형}} - A_{\text{네 모서리}}$) 에 사용.)7.G.B.4원의 넓이·둘레 공식을 알고 활용 (한 모서리 4분원의 넓이 $\tfrac{1}{4}\pi(2)^2 = \pi$ 와, 네 4분원이 합쳐져 넓이 $4\pi$ 인 원 하나가 된다는 사실을 확인하는 데 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (최종 비 $\dfrac{16 - 4\pi}{4\pi} = \dfrac{4 - \pi}{\pi}$ 를 세우고 공통인수로 정리하는 데 사용.)
⭐ 별 주위에 정사각형을 그리면, 네 모서리에서 빠진 "4분원" 들이 합쳐져 원래 원이 됩니다. 그러니 별의 넓이는 정사각형에서 원을 뺀 값 — 나머지는 7학년 원 넓이 공식이 해결해 줍니다.
⭐ 별 주위에 정사각형을 그리면, 네 모서리에서 빠진 "4분원" 들이 합쳐져 원래 원이 됩니다. 그러니 별의 넓이는 정사각형에서 원을 뺀 값 — 나머지는 7학년 원 넓이 공식이 해결해 줍니다.
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