AMC 8 · 2014 · #13

학년 4 number-theory

parityperfect-squareslogical-deduction caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: paritylogical-deduction

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$n$ 과 $m$ 이 정수이고 $n^2+m^2$ 이 짝수일 때, 다음 중 불가능한 것은 무엇일까요?

$\textbf{(A) }$ $n$ 과 $m$ 이 모두 짝수 $\qquad\textbf{(B) }$ $n$ 과 $m$ 이 모두 홀수 $\qquad\textbf{(C) }$ $n+m$ 이 짝수 $\qquad\textbf{(D) }$ $n+m$ 이 홀수 $\qquad \textbf{(E) }$ 이 중 불가능한 경우는 없음

답을 골라 클릭하세요.

(A)

n and m are even

(B)

n and m are odd

(C)

n+m is even

(D)

n+m is odd

(E)

none of these are impossible

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정수 $n$ 과 $m$ 의 제곱의 합 $n^2 + m^2$ 이 짝수입니다. 다섯 개의 보기 중 절대 일어날 수 없는 것을 찾아야 합니다.

주어진 것: $n, m$ 은 정수(양수·음수·0 모두 가능); $n^2 + m^2$ 은 짝수; 선택지: (A) $n, m$ 모두 짝수, (B) $n, m$ 모두 홀수, (C) $n+m$ 은 짝수, (D) $n+m$ 은 홀수, (E) 불가능한 것이 없다

구하는 것: 주어진 조건 아래에서 다섯 보기 중 불가능한 것

이해

문제 재정리: 정수 $n$ 과 $m$ 의 제곱의 합 $n^2 + m^2$ 이 짝수입니다. 다섯 개의 보기 중 절대 일어날 수 없는 것을 찾아야 합니다.

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

$(n, m)$ 의 홀짝 조합은 (짝, 짝), (짝, 홀), (홀, 짝), (홀, 홀) 의 네 가지뿐입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 경우를 표로 모두 적어 두고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 "$n^2+m^2$ 은 짝수" 라는 조건에 어긋나는 경우를 지워 살아남는 경우만 남깁니다. 그 살아남은 경우들과 각 보기를 대조하면 불가능한 보기가 자연스럽게 드러납니다. 대수식이나 형식적 증명 같은 무거운 도구 대신 작은 홀짝 표 하나면 충분합니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

$(n, m)$ 의 홀짝 조합 네 가지를 모두 적고, 그에 따른 $n^2 + m^2$ 의 홀짝을 채웁니다.
제곱은 홀짝을 바꾸지 않으므로 $n^2 + m^2$ 의 홀짝은 "$n$ 의 홀짝 + $m$ 의 홀짝" 과 똑같이 결정됩니다.

$$\begin{array}{c|c|c} n & m & n^2+m^2 \\ \hline \text{짝} & \text{짝} & \text{짝} \\ \text{짝} & \text{홀} & \text{홀} \\ \text{홀} & \text{짝} & \text{홀} \\ \text{홀} & \text{홀} & \text{짝} \end{array}$$

💡 홀짝 표를 빠짐없이 만들어 보는 것은 4학년 "짝수·홀수, 배수와 약수" 개념을 체계적으로 쓰는 일입니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.D.9 단계 2

조건 "$n^2 + m^2$ 은 짝수" 를 적용해 결과가 홀수인 두 줄을 지웁니다.
남는 경우는 (짝, 짝) 과 (홀, 홀) — 즉 $n$ 과 $m$ 의 홀짝이 같아야 합니다.

$$\text{생존: }(n,m)\in\{(\text{짝},\text{짝}),(\text{홀},\text{홀})\}$$

💡 조건에 어긋나는 줄을 지우는 것이 "가능성 지우기" 의 핵심 동작이고, "제곱은 홀짝을 유지하므로 $n^2+m^2$ 의 홀짝은 $n+m$ 과 같다" 는 흐름은 3학년 패턴 추론입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

각 보기를 살아남은 두 경우와 대조합니다.
(A) 둘 다 짝수 — 1번 줄에서 일어남, 가능.
(B) 둘 다 홀수 — 4번 줄에서 일어남, 가능.
(C) $n+m$ 짝수 — 짝$+$짝, 홀$+$홀 모두 짝수이므로 두 생존 경우 모두에서 성립, 가능.

$$\text{(A) }\checkmark\quad \text{(B) }\checkmark\quad \text{(C) }\checkmark$$

💡 각 선택지가 생존 목록 안에서 실현 가능한지 짝/홀 규칙으로 직접 확인하는 단계입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

이제 (D) "$n+m$ 은 홀수" 를 확인합니다.
두 정수의 합이 홀수가 되려면 하나는 짝수·다른 하나는 홀수여야 하는데, 살아남은 경우들은 모두 $n, m$ 의 홀짝이 같습니다.
따라서 주어진 조건 아래에서 $n+m$ 은 절대 홀수가 될 수 없습니다.

$$n+m \text{ 홀수} \Rightarrow \text{(짝,홀) 또는 (홀,짝)} \;\not\in\; \text{생존} \;\Rightarrow\; \textbf{불가능}$$

💡 홀짝이 같은 두 정수의 합은 언제나 짝수이므로 홀수 합은 곧바로 배제됩니다 — 가능성 지우기로 답이 바로 나옵니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

(D) 가 불가능하고 (A), (B), (C) 는 모두 가능하므로, (E) "불가능한 것이 없다" 는 거짓입니다.
따라서 정답은 (D) 하나뿐입니다.

$$\textbf{(D)}\ n+m \text{ 은 홀수}$$

💡 생존 과정을 끝까지 거치면 단 하나의 보기만 남아 "불가능한 경우" 로 확정됩니다.

[1] #2 4.OA.B.4 $(n, m)$ 의 홀짝 조합 네 가지를 모두 적고, 그에 따른 $n^2 + m^2$ 의 홀짝을 채웁니다. 제곱은 홀짝을 바꾸지 않으므로 $n^

[2] #3 3.OA.D.9 조건 "$n^2 + m^2$ 은 짝수" 를 적용해 결과가 홀수인 두 줄을 지웁니다. 남는 경우는 (짝, 짝) 과 (홀, 홀) — 즉 $n$ 과

[3] #3 4.OA.B.4 각 보기를 살아남은 두 경우와 대조합니다. (A) 둘 다 짝수 — 1번 줄에서 일어남, 가능. (B) 둘 다 홀수 — 4번 줄에서 일어남, 가능

[4] #3 4.OA.B.4 이제 (D) "$n+m$ 은 홀수" 를 확인합니다. 두 정수의 합이 홀수가 되려면 하나는 짝수·다른 하나는 홀수여야 하는데, 살아남은 경우들은

[5] #3 4.OA.B.4 (D) 가 불가능하고 (A), (B), (C) 는 모두 가능하므로, (E) "불가능한 것이 없다" 는 거짓입니다. 따라서 정답은 (D) 하나뿐입

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 점검해 봅니다. $(n,m)=(2,4)$: $n^2+m^2=4+16=20$ 짝수, $n+m=6$ 짝수 — 규칙과 일치. $(n,m)=(1,3)$: $1+9=10$ 짝수, $n+m=4$ 짝수 — 또 일치. $(n,m)=(2,3)$: $4+9=13$ 은 홀수라 조건 위반인데, 이 경우 $n+m=5$ 가 정확히 우리가 배제한 "홀수 합" 입니다. 모든 예가 한 방향을 가리킵니다 — $n^2+m^2$ 이 짝수이면 $n+m$ 은 반드시 짝수, 그러므로 (D) 는 불가능.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 지름길을 탑니다. 모든 정수 $k$ 에 대해 $k^2$ 과 $k$ 의 홀짝이 같으므로 $n^2+m^2$ 과 $n+m$ 의 홀짝도 같습니다. 주어진 조건이 $n^2+m^2$ 짝수이니 $n+m$ 도 짝수일 수밖에 없고, 따라서 $n+m$ 이 홀수인 것은 불가능 — 경우 분류 없이 곧장 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.D.9 덧셈표 등에서 산술 패턴을 찾아 연산의 성질로 설명하기 (짝수$+$짝수, 홀수$+$홀수는 짝수, 짝수$+$홀수는 홀수라는 홀짝 패턴을 인식해 가능성 지우기의 근거로 사용.)
4.OA.B.4 약수·배수, 그리고 한 자리 수의 배수 여부(짝수·홀수 포함) 판정 (각 정수를 짝수·홀수로 분류하고, 제곱이 정수와 같은 홀짝을 가진다는 사실을 이용해 살아남은 경우와 각 보기를 대조.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 짝수·홀수 규칙 하나면 풀려요 — 제곱은 홀짝을 유지하니까 $n^2+m^2$ 과 $n+m$ 의 홀짝이 항상 같거든요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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