AMC 8 · 2014 · #20

변의 길이 $DA = 5$ 와 $CD = 3$ 으로 직사각형의 넓이를 구합니다.

💡 가로 $\times$ 세로 는 4학년 직사각형 넓이 공식 — 여기서 모서리 조각들을 잘라낼 "전체" 가 됩니다.

• 각 꼭짓점의 내각이 $90^\circ$ 이므로, 그 꼭짓점에 중심을 둔 원에서 직사각형 안에 들어오는 부분은 원의 정확히 $\tfrac{1}{4}$ 입니다.
• 각 사분원의 넓이는 $\tfrac{1}{4}\pi r^2$ 로 계산합니다.

💡 $90^\circ$ 꼭짓점은 원의 $\tfrac{90}{360} = \tfrac{1}{4}$ 만큼만 직사각형 안으로 쓸어담는다는 그림을 떠올려, 7학년 원 넓이 공식을 적용합니다.

• 세 사분원이 서로 겹치지 않는지 확인합니다.
• 변 $AB$ (길이 $3$) 위에서 $A$ 의 반지름 $1$ 과 $B$ 의 반지름 $2$ 의 합은 $3$ 이므로 두 원은 한 점에서만 닿습니다.
• 변 $BC$ (길이 $5$) 위에서도 $2 + 3 = 5$ 라 마찬가지로 한 점에서만 닿습니다.
• $A$ 와 $C$ 는 대각선 위치라 더 멀리 있습니다.
• 따라서 사분원들은 점에서만 만나고, 넓이는 중복 없이 더할 수 있습니다.

💡 조각들이 겹치지 않아야 "각 조각을 따로 계산해 더한다" 는 작은 문제 쪼개기가 정당합니다 — 변 길이 검산으로 확인.

겹치지 않는 세 사분원 넓이를 더해 직사각형 안의 "덮인 면적" 을 구합니다.

💡 겹치지 않는 조각은 단순히 더한다 — 작은 문제 쪼개기 도구의 핵심.

직사각형 넓이에서 덮인 면적을 빼고, $\pi \approx 3.14$ 를 대입해 선택지와 비교합니다.

💡 전체 $-$ 덮인 면적 $=$ 안 덮인 면적. 수치 $4.01$ 은 보기 (B) $4.0$ 과 가장 가깝습니다.