AMC 8 · 2014 · #23

학년 6 number-theorylogic

prime-numberslogical-deductionbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: prime-numberslogical-deduction

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

유클리드 중학교 여자 소프트볼 팀 선수 세 명이 다음과 같이 대화를 나눴습니다.

애슐리(Ashley): 우리 셋의 유니폼 번호가 모두 두 자리 소수라는 걸 방금 알았어.

베서니(Bethany): 그리고 너희 둘의 유니폼 번호의 합이 이번 달 앞쪽에 있는 내 생일이야.

케이틀린(Caitlin): 신기하다. 너희 둘의 유니폼 번호의 합은 이번 달 뒤쪽에 있는 내 생일이거든.

애슐리: 그리고 너희 둘의 유니폼 번호의 합은 오늘 날짜야.

케이틀린이 단 번호는 얼마일까요?

$\textbf{(A) }11\qquad\textbf{(B) }13\qquad\textbf{(C) }17\qquad\textbf{(D) }19\qquad \textbf{(E) }23$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 애슐리, 베서니, 케이틀린의 소프트볼 유니폼 번호는 모두 두 자리 소수입니다. 세 번호 중 두 개씩 더한 합은 모두 이번 달의 날짜를 나타냅니다 — 애슐리 $+$ 케이틀린 $=$ 베서니의 생일(이번 달 앞쪽), 애슐리 $+$ 베서니 $=$ 케이틀린의 생일(이번 달 뒤쪽), 베서니 $+$ 케이틀린 $=$ 오늘 날짜(두 생일 사이). 케이틀린의 등번호를 구하세요.

주어진 것: 세 등번호는 모두 두 자리 소수 (각각 $11$ 이상); 애슐리 $+$ 케이틀린 $=$ 베서니의 생일(이번 달 앞쪽); 베서니 $+$ 케이틀린 $=$ 오늘 날짜(이번 달); 애슐리 $+$ 베서니 $=$ 케이틀린의 생일(이번 달 뒤쪽); 선택지: (A) $11$, (B) $13$, (C) $17$, (D) $19$, (E) $23$

구하는 것: 케이틀린의 등번호

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

후보군이 매우 좁습니다 — 두 자리 소수 중에서도 둘씩 더한 합이 달력 위에 올라갈 만큼 ($31$ 이하) 작은 것만 가능합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 두 자리 소수를 작은 것부터 적어 놓고, 도구 #3(가능성 지우기) 으로 $19$ 이상의 소수를 모두 잘라냅니다 — 다른 두 자리 소수와 더하면 $31$ 을 넘기 때문입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 문제를 두 조각 — (가) 어떤 세 소수가 쓰이는가, (나) 누가 어느 번호를 다는가 — 으로 분리해 줍니다. (나) 는 대수 없이 날짜 부등식만 연결하면 끝납니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

두 자리 소수를 작은 것부터 적어 봅니다: $11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots$ 어차피 두 수의 합이 $31$ (가능한 가장 큰 날짜) 을 넘으면 안 되므로 처음 몇 개만 보면 충분합니다.

두 자리 소수: $11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots$

💡 $10$ 부터 $31$ 까지 중 어느 수가 소수인지 가려내는 작업은 4학년 "소수·합성수 판별" 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 2

$19$ 이상의 소수를 지웁니다.
만약 한 등번호가 $19$ 라면, 가장 작은 짝꿍 $11$ 과 더해도 $19 + 11 = 30$ 까지는 살아남지만, $19$ 와 짝지을 세 번째 소수가 필요하고, 그 다음으로 작은 $13$ 과 더하면 $19 + 13 = 32 > 31$ 로 날짜를 벗어납니다.
따라서 $19, 23, 29, 31, \ldots$ 은 모두 탈락.
남는 두 자리 소수는 $11, 13, 17$ 뿐이고, 서로 다른 세 소수가 필요하므로 등번호 집합은 $\{11, 13, 17\}$ 로 확정됩니다.

$13 + 19 = 32 > 31 \;\Rightarrow\;$ $19$ (와 그 이상) 은 등장 불가 $\Rightarrow$ 집합 $= \{11, 13, 17\}$

💡 각 후보를 $31$ 이라는 상한과 비교해 탈락시키는 것은 4학년 "여러 단계 사칙연산 점검" 작업입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

$\{11, 13, 17\}$ 이 실제로 조건을 만족하는지 확인합니다: $11 + 13 = 24$, $11 + 17 = 28$, $13 + 17 = 30$.
세 합 모두 $31$ 이하 (유효한 날짜) 이고 서로 다르므로, 이야기 속 세 개의 서로 다른 날짜에 하나씩 대응시킬 수 있습니다.

두 수의 합: $11+13 = 24,\; 11+17 = 28,\; 13+17 = 30$

💡 "어떤 소수들인가" 와 "누가 무엇을 쓰는가" 를 분리하는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.8 단계 4

이제 누가 어느 번호를 다는지 정합니다.
애슐리, 베서니, 케이틀린의 등번호를 각각 $A$, $B$, $C$ 라 하면, 이야기 속 날짜 순서는 베서니 생일 $<$ 오늘 $<$ 케이틀린 생일, 즉 $A + C < B + C < A + B$ 입니다.
첫 부등식의 양변에서 $C$ 를 빼면 $A < B$, 두 번째에서 $B$ 를 빼면 $C < A$.
합치면 $C < A < B$.

$$A + C < B + C < A + B \;\Longrightarrow\; C < A < B$$

💡 날짜 순서를 부등식 사슬로 옮기고 공통항을 빼는 것은 6학년 부등식 추론 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 5

$C < A < B$ 에 맞춰 소수를 배정합니다: 케이틀린이 가장 작은 수, 애슐리가 가운데, 베서니가 가장 큰 수.
따라서 $C = 11$, $A = 13$, $B = 17$.
케이틀린의 등번호는 $11$ $\Rightarrow$ 답 $\textbf{(A)}$.

$$C = 11,\; A = 13,\; B = 17 \;\Rightarrow\; \text{케이틀린} = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 정렬된 소수를 정렬된 변수에 맞춰 끼우면 나머지 네 선택지는 한 번에 사라집니다.

[1] #2 4.OA.B.4 두 자리 소수를 작은 것부터 적어 봅니다: $11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots$ 어차피 두 수의 합이 $31$ (가

[2] #3 4.OA.A.3 $19$ 이상의 소수를 지웁니다. 만약 한 등번호가 $19$ 라면, 가장 작은 짝꿍 $11$ 과 더해도 $19 + 11 = 30$ 까지는 살아남

[3] #7 4.OA.A.3 $\{11, 13, 17\}$ 이 실제로 조건을 만족하는지 확인합니다: $11 + 13 = 24$, $11 + 17 = 28$, $13 + 17

[4] #7 6.EE.B.8 이제 누가 어느 번호를 다는지 정합니다. 애슐리, 베서니, 케이틀린의 등번호를 각각 $A$, $B$, $C$ 라 하면, 이야기 속 날짜 순서는

[5] #3 6.EE.B.8 $C < A < B$ 에 맞춰 소수를 배정합니다: 케이틀린이 가장 작은 수, 애슐리가 가운데, 베서니가 가장 큰 수. 따라서 $C = 11$,

검토

합리성 확인: 되돌려 대입해 봅니다 — 베서니 생일 $= A + C = 13 + 11 = 24$, 오늘 $= B + C = 17 + 11 = 28$, 케이틀린 생일 $= A + B = 13 + 17 = 30$. $24 < 28 < 30$ 으로 모두 같은 달에 들어가고, 이야기 속 순서 (베서니 먼저, 오늘이 그 다음, 케이틀린이 나중) 과도 정확히 맞습니다. 모든 합이 $31$ 이하라 날짜로도 유효합니다. 답 $11$ 은 선택지 중 가장 작은 값이고, "케이틀린이 세 소수 중 가장 작은 수를 단다" 라는 추론과도 일치합니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 바로 검토합니다 — 2단계의 논증으로 등번호 세 개는 무조건 $\{11, 13, 17\}$ 이어야 하므로, 선택지 (A) $11$, (B) $13$, (C) $17$, (D) $19$, (E) $23$ 중 (D), (E) 는 후보에서 빠지고, $C < A < B$ 가 케이틀린을 가장 작은 수로 못 박으므로 $\{11, 13, 17\}$ 중 최솟값인 $11$ — 답 $(A)$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수 쌍 찾기 및 소수·합성수 판별 (후보 등번호가 되는 두 자리 소수 ($11, 13, 17, 19, 23, \ldots$) 의 목록 작성에 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용하는 여러 단계 문장제 해결 ($11+13=24$, $11+17=28$, $13+17=30$ 같은 두 수의 합을 계산하고 달력 상한 $31$ 과 비교해 불가능한 소수 조합을 솎아내는 데 사용.)
6.EE.B.8 조건을 부등식으로 표현하고 추론하기 ("베서니 생일 $<$ 오늘 $<$ 케이틀린 생일" 을 $A + C < B + C < A + B$ 로 옮기고 공통항을 소거해 $C < A < B$ 를 끌어내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 "부등식 양변에서 같은 수를 빼도 부등호 방향은 그대로" 라는 6학년 아이디어 하나만 알면 풀려요 — 소수 목록과 날짜 상한 $31$ 이 나머지를 다 해결해 주거든요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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